Sviluppo in serie di Laurent
Buonasera, sto svolgendo un esercizio sullo sviluppo in serie di Laurent della funzione :
però ho qualche difficoltà. Iniziamo con il primo caso. Innanzitutto in \(\displaystyle 1<|z|<3 \) la funzione è olomorfa quindi lo sviluppo di Laurent esiste, inoltre \(\displaystyle z=0 \) è un punto di olomorfia per \(\displaystyle f(z) \) quindi mi aspetto che il suo sviluppo di Laurent coincida con la serie di MacLaurin.
Decomponendo in fratti semplici si ha :
il secondo termine dovrebbe essere :
mentre con il primo non saprei come procedere..solitamente cerco di far "spuntare" al denominatore un qualcosa del tipo :
ma in questo caso l'intervallo mi dice che \(\displaystyle |z|>1 \). Avevo pensato di scrivere semplicemente :
ma suppongo che sia errato
\(\displaystyle f(z) = \frac{1}{(z+1)(z+3)} \) in \(\displaystyle 1<|z|<3 \) e \(\displaystyle |z|>3 \)
però ho qualche difficoltà. Iniziamo con il primo caso. Innanzitutto in \(\displaystyle 1<|z|<3 \) la funzione è olomorfa quindi lo sviluppo di Laurent esiste, inoltre \(\displaystyle z=0 \) è un punto di olomorfia per \(\displaystyle f(z) \) quindi mi aspetto che il suo sviluppo di Laurent coincida con la serie di MacLaurin.
Decomponendo in fratti semplici si ha :
\(\displaystyle \frac{1}{(z+1)(z+3)} = \frac{1}{2} \frac{1}{z+1} - \frac{1}{2} \frac{1}{z+3} \)
il secondo termine dovrebbe essere :
\(\displaystyle \frac{1}{z+3} = \frac{1}{3(1+\frac{z}{3})} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n\;\frac{z^n}{3^{n+1}} \)
mentre con il primo non saprei come procedere..solitamente cerco di far "spuntare" al denominatore un qualcosa del tipo :
\(\displaystyle \frac{1}{1+\alpha} \;\;\;\;\;\;\;\; \)con \(\displaystyle \alpha < 1 \)
ma in questo caso l'intervallo mi dice che \(\displaystyle |z|>1 \). Avevo pensato di scrivere semplicemente :
\(\displaystyle \frac{1}{z+1} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n z^n \)
ma suppongo che sia errato
Risposte
Ciao Oiram92,
Sì, è errato, ma ti stai annegando in un bicchiere d'acqua: se $|z| > 1 \implies frac{1}{|z|} < 1$... Basta che raccogli $z$ a denominatore della frazione $frac{1}{z + 1}$...
Sì, è errato, ma ti stai annegando in un bicchiere d'acqua: se $|z| > 1 \implies frac{1}{|z|} < 1$... Basta che raccogli $z$ a denominatore della frazione $frac{1}{z + 1}$...
Si hai ragione, probabilmente mi sto perdendo in un bicchiere d'acqua però il mio dubbio deriva dal fatto che se prendiamo :
quindi mettendo tutto insieme si ha :
da questa ci si rende conto che è presente una parte con esponenti tutti negativi (la prima sommatoria) ed una parte che corrisponde allo sviluppo di MacLaurin (la seconda sommatoria). Ma questo va contro la mia ipotesi iniziale sul fatto che :
quindi o lo sviluppo è sbagliato oppure \(\displaystyle z=0 \) non è punto regolare/di olomorfia per \(\displaystyle f(z) \). La seconda ipotesi mi sembra totalmente falsa perchè basta calcolare \(\displaystyle f(0) \) per rendersi conto che in quel punto non si hanno problemi di nessun tipo..e allora dove sta l'inghippo?
\(\displaystyle \frac{1}{z+1} = \frac{1}{z \left(1+\frac{1}{z}\right)} = \frac{1}{z} \cdot \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{z^n} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{z^{n+1}} \)
quindi mettendo tutto insieme si ha :
\(\displaystyle \frac{1}{(z+1)(z+3)} = \frac{1}{2} \; \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{z^{n+1}} - \frac{1}{2} \; \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \; \frac{z^n}{3^{n+1}}\)
da questa ci si rende conto che è presente una parte con esponenti tutti negativi (la prima sommatoria) ed una parte che corrisponde allo sviluppo di MacLaurin (la seconda sommatoria). Ma questo va contro la mia ipotesi iniziale sul fatto che :
"Oiram92":
In \( \displaystyle 1<|z|<3 \) la funzione è olomorfa quindi lo sviluppo di Laurent esiste, inoltre \( \displaystyle z=0 \) è un punto di olomorfia per \( \displaystyle f(z) \) quindi mi aspetto che il suo sviluppo di Laurent coincida con la serie di MacLaurin.
quindi o lo sviluppo è sbagliato oppure \(\displaystyle z=0 \) non è punto regolare/di olomorfia per \(\displaystyle f(z) \). La seconda ipotesi mi sembra totalmente falsa perchè basta calcolare \(\displaystyle f(0) \) per rendersi conto che in quel punto non si hanno problemi di nessun tipo..e allora dove sta l'inghippo?
La serie che cerchi non può contenere solo potenze non negative di $z$ (i.e., non può essere una serie di Taylor)... Infatti, se così fosse, essa convergerebbe nel più grande cerchio di centro $0$ che non contiene punti singolari di $f$, i.e. in $|z|<1$ e non nell'anello $1<|z|<3$.
Nota, inoltre, che il centro di sviluppo in serie di Laurent (i.e., $0$) non è un punto singolare per $f$ (gli unici punti singolari sono $-1$ e $-3$, poli semplici); quindi possono accadere cose strane, come essere presenti infinite potenze negative di $z$.
Nota, inoltre, che il centro di sviluppo in serie di Laurent (i.e., $0$) non è un punto singolare per $f$ (gli unici punti singolari sono $-1$ e $-3$, poli semplici); quindi possono accadere cose strane, come essere presenti infinite potenze negative di $z$.
Ah ecco spiegato il motivo, grazie mille 
quindi il fatto che la serie di Laurent coincide con lo sviluppo di Taylor/MacLaurin è vero con certezza solo quando il punto (centro della serie) è una discontinuità eliminabile per \(\displaystyle f(z) \) mentre in tutti gli altri casi non si possono fare supposizioni a priori.
Allora per completare l'esercizio, lo sviluppo di quella \(\displaystyle f(z) \) in \(\displaystyle |z|>3 \) è :
giusto?
PS: per concludere la questione nata in questo post. Se viene meno la condizione di olomorfia nel disco bucato in cui si vuole calcolare lo sviluppo si può concludere dicendo che lo sviluppo non esiste? Ad esempio, considerando sempre come \(\displaystyle f(z) \) quella del post iniziale, se fosse stato chiesto di sviluppare in :
cosa avremmo dovuto dire? Nel primo caso abbiamo un disco di centro \(\displaystyle z_0=0 \) e raggio \(\displaystyle r=2 \) che ingloba al suo interno un punto di singolarità quindi non abbiamo olomorfia. Nel secondo caso abbiamo un piano bucato privato del disco centrato in \(\displaystyle z_0=0 \) e raggio \(\displaystyle r=3 \). In tal caso la funzione è olomorfa nel piano bucato però lo sviluppo non è più in un intorno di un punto singolare bensì in un disco in cui sono contenuti ben 2 punti di singolarità. In questi casi lo sviluppo non esiste vero?
quindi il fatto che la serie di Laurent coincide con lo sviluppo di Taylor/MacLaurin è vero con certezza solo quando il punto (centro della serie) è una discontinuità eliminabile per \(\displaystyle f(z) \) mentre in tutti gli altri casi non si possono fare supposizioni a priori.Allora per completare l'esercizio, lo sviluppo di quella \(\displaystyle f(z) \) in \(\displaystyle |z|>3 \) è :
\(\displaystyle f(z) = \frac{1}{2} \left[\frac{1}{z(1+\frac{1}{z})} - \frac{1}{z(1+\frac{3}{z})} \right] = \frac{1}{2} \left[ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{z^{n+1}} - \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \; \frac{3^n}{z^{n+1}} \right] \)
giusto?
PS: per concludere la questione nata in questo post. Se viene meno la condizione di olomorfia nel disco bucato in cui si vuole calcolare lo sviluppo si può concludere dicendo che lo sviluppo non esiste? Ad esempio, considerando sempre come \(\displaystyle f(z) \) quella del post iniziale, se fosse stato chiesto di sviluppare in :
\(\displaystyle |z|<2 \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \) oppure in \(\displaystyle \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; |z|>3 \)
cosa avremmo dovuto dire? Nel primo caso abbiamo un disco di centro \(\displaystyle z_0=0 \) e raggio \(\displaystyle r=2 \) che ingloba al suo interno un punto di singolarità quindi non abbiamo olomorfia. Nel secondo caso abbiamo un piano bucato privato del disco centrato in \(\displaystyle z_0=0 \) e raggio \(\displaystyle r=3 \). In tal caso la funzione è olomorfa nel piano bucato però lo sviluppo non è più in un intorno di un punto singolare bensì in un disco in cui sono contenuti ben 2 punti di singolarità. In questi casi lo sviluppo non esiste vero?
"Oiram92":
In tal caso la funzione è olomorfa nel piano bucato però lo sviluppo non è più in un intorno di un punto singolare bensì in un disco in cui sono contenuti ben 2 punti di singolarità. In questi casi lo sviluppo non esiste vero?
Io credo che lo sviluppo sia possibile anche quando il disco bucato contiene due singolarità (o al massimo n singolarità di numero finito) con l'unica osservazione che questo sarà costituito da termini negativi in numero indefinito (infatti non può esserci un raggio di convergenza per la serie di taylor). In effetti tutto ciò non va in contraddizione con l'enunciato del teorema di Laurent perché questo ci dice che una funzione pùò essere sviluppata attraverso una serie uniformemente convergente se la funzione è olomorfa in una regione circolare DI CENTRO $z_0$ e **compresa fra $r<|z-z_0|
Per $1<|z|<3$ si avrà una serie composta da termini sia positivi che negativi poiché esiste un raggio di convergenza (che coincide con la distanza fra le due singolarità) tale per cui la serie stessa (composta da termini positivi coincidenti con quelli dello sviluppo di Taylor e negativi) converga uniformemente.
Se $0<|z|<1$ la serie sarà interamente composta da coefficienti positivi (di Taylor) perché nel disco non ci sono punti singolari.
Per finire i raggi di convergenza saranno coincidenti con il più grande intorno forato in cui gli sviluppi convergono.
** "compresa" significa che solo la regione dovrà avere la caratteristica di contenere punti in cui $f(z)$ è olomorfa ma $z_0$ potrà essere anche una singolarità (d'altronde la richiesta è che vi sia $r>0$)
P.S e' bene anche notare che se costruisci una corona circolare che esclude le singolarita' (interne al buco della corona) ed esegui un integrale di linea nella regione definita dalla corona hai come risultato la somma dei residui.
(teorema integrale di cauchy)
(Questo significa che se guardi bene lo sviluppo di Laurent e se eseguissi davvero l'integrale di contorno, con una curva $Gamma$ che sia chiusa e regolare (a tratti) e di raggio tale da racchiudere le singolarità,ma tutta contenuta nella regione di olomorfismo di $f(z)$ si ha che $int_(Gamma) f(z)dz=1/(2pii)(int_(gamma_i)g(z)/(z-z_0)dz-2piisum_iRes(f(z))|_(z_=z_(i,gamma_i)))=0$.
$1/(2pii)int_(gamma_i)g(z)/(z-z_0)=sum_i(Res(f(z))|_(z=z_(i,gamma_i)))=sum_i(a_(-1,gamma_i))$;
riportando al caso in questione $a_(- 1,gamma_1)+a_(-1,gamma_2)=0$ come si nota anche dallo sviluppo di Laurent in cui per $|z-z_0|>3$ lo sviluppo è sprovvisto del primo termine negativo).
(teorema integrale di cauchy)
(Questo significa che se guardi bene lo sviluppo di Laurent e se eseguissi davvero l'integrale di contorno, con una curva $Gamma$ che sia chiusa e regolare (a tratti) e di raggio tale da racchiudere le singolarità,ma tutta contenuta nella regione di olomorfismo di $f(z)$ si ha che $int_(Gamma) f(z)dz=1/(2pii)(int_(gamma_i)g(z)/(z-z_0)dz-2piisum_iRes(f(z))|_(z_=z_(i,gamma_i)))=0$.
$1/(2pii)int_(gamma_i)g(z)/(z-z_0)=sum_i(Res(f(z))|_(z=z_(i,gamma_i)))=sum_i(a_(-1,gamma_i))$;
riportando al caso in questione $a_(- 1,gamma_1)+a_(-1,gamma_2)=0$ come si nota anche dallo sviluppo di Laurent in cui per $|z-z_0|>3$ lo sviluppo è sprovvisto del primo termine negativo).
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