Sviluppo di Taylor di funzione complessa
Salve, avendo la seguente funzione di variabile complessa \( z \in \mathbb{C} \):
\( f(z) = (z^{2} + 1) cos(3z^{3}) \)
è corretto calcolare il suo sviluppo di Taylor, nel punto \( z_{0} = 0 \), come segue?
\(f(z) = (z^{2} + 1) \Sigma ^{\infty} _{n=0} (-1)^{n} \frac{z^{2n}}{(2n)!} \)
\( = (z^{2} + 1) (1 - \frac{9z^{4}}{2} + \frac{81{z^{8}}}{4!} ...) \)
\( = z^{2} + 1 - \frac{9z^{4}}{2} - \frac{9z^{6}}{2} + \frac{81{z^{8}}}{4!} + \frac{81{z^{10}}}{4!} ...\) ?
Cioè, in modo da utilizzare soltanto lo sviluppo noto del cos invece che calcolare esplicitamente tutte le derivate successive della funzione f(z) ?
\( f(z) = (z^{2} + 1) cos(3z^{3}) \)
è corretto calcolare il suo sviluppo di Taylor, nel punto \( z_{0} = 0 \), come segue?
\(f(z) = (z^{2} + 1) \Sigma ^{\infty} _{n=0} (-1)^{n} \frac{z^{2n}}{(2n)!} \)
\( = (z^{2} + 1) (1 - \frac{9z^{4}}{2} + \frac{81{z^{8}}}{4!} ...) \)
\( = z^{2} + 1 - \frac{9z^{4}}{2} - \frac{9z^{6}}{2} + \frac{81{z^{8}}}{4!} + \frac{81{z^{10}}}{4!} ...\) ?
Cioè, in modo da utilizzare soltanto lo sviluppo noto del cos invece che calcolare esplicitamente tutte le derivate successive della funzione f(z) ?
Risposte
Sì, ma sbagli i conti. 
Ok giusto per conferma 
grazie!
grazie!
Lo sviluppo giusto per la parte col coseno è:
\[
\cos z^3= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!}\ z^{6n}\; .
\]
\[
\cos z^3= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!}\ z^{6n}\; .
\]
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