Sulla definizione di integrabilità di una funzione semplice
Salve a tutti.
Il problema che vado ad esporvi è legato all'interpretazione della definizione di funzione semplice integrabile. Il mio testo di riferimento è Istituzioni di Analisi Superiore di Alberto Tesei. La procedura utilizzata dal testo è quella standard, prima si definiscono le funzioni semplici, in particolare quelle non negative, nel seguente modo:
\[
s(x)=\sum_{i=1}^{n} c_i\chi_{A_i}(x),
\]
dove $c_i\ge 0$ per $i=1,2,\ldots,n$ e $A_i=\{s=c_i\}$. ($s(X)=\{c_1,\ldots,c_n\}$)
Il testo non fornisce delle condizioni di integrabilità, ma, detta $\lambda$ la misura di Lebesgue, definisce l'integrale di $s$ nel seguente modo:
\[
\int_X s(x)\;d\lambda=\sum_{i=1}^{n} c_i\lambda(A_i).
\]
Ora, è chiaro che per come è definito, l'integrale può assumere il valore $+\infty$, inoltre, si utilizza la convenzione che $0\cdot(+\infty)=0$. La definizione di funzione semplice data non lascia spazio ad interpretazioni, nel senso che una funzione semplice, in generale, può scriversi in tanti modi diversi, ma il modo di scriverla di cui sopra, detta forma canonica, è unico.
Oltre al testo sopra citato mi sono state fornite delle dispense nelle quali una funzione semplice è una qualunque funzione scrivibile come
\[
s(x)=\sum_{i=1}^{n} c_i\chi_{A_i}(x),
\]
dove $c_i\in\mathbb{R}$ e gli $A_i$ sono insieme misurabili. Inoltre, senza ledere la generalità, si può sempre supporre che $c_i\ne 0$ e che gli $A_i$ siano disgiunti, in pratica, è come se "aggiustassimo" l'immagine della funzione. Quello che mi lascia perplesso è la definizione di integrabilità: $s$ è integrabile se $\lamda(\cup_{i=1}^n A_i)<+\infty$ in tal caso si pone:
\[
\int_X s(x)\;d\lambda=\sum_{i=1}^{n} c_i\lambda(A_i).
\]
A me sembra che questa ultima definizione sia meno generale della prima, in quanto per essere integrabile una funzione semplice $s$ deve o essere definita su un insieme finito oppure deve valere $0$ su insiemi illimitati (giusto?
), perché ad esempio se
\[
s_1(x)=
\begin{cases}
1
& \text{se $x\in [0,1]$} \\
2 & \text{se $x\in(1,2]$} \\
0 & \text{se $x\in(2,+\infty)$}
\end{cases}
\]
Stando alla seconda definizione $s_1(x)$ non è integrabile, ma siccome dobbiamo farne l'integrale possiamo non considerare la parte dove vale $0$ e considerare
\[
s_1(x)=
\begin{cases}
1
& \text{se $x\in [0,1]$} \\
2 & \text{se $x\in(1,2]$}
\end{cases}
\]
così facendo è integrabile e l'integrale fatto con le due definizioni coincide, anche se con la prima avremmo potuto procedere senza togliere questa parte vista la convenzione.
Vi chiedo solo se queste mie considerazioni sono esatte e se ci sono altre considerazioni da fare sulla due definizioni,
Vi ringrazio per il tempo che mi dedicherete.
Il problema che vado ad esporvi è legato all'interpretazione della definizione di funzione semplice integrabile. Il mio testo di riferimento è Istituzioni di Analisi Superiore di Alberto Tesei. La procedura utilizzata dal testo è quella standard, prima si definiscono le funzioni semplici, in particolare quelle non negative, nel seguente modo:
\[
s(x)=\sum_{i=1}^{n} c_i\chi_{A_i}(x),
\]
dove $c_i\ge 0$ per $i=1,2,\ldots,n$ e $A_i=\{s=c_i\}$. ($s(X)=\{c_1,\ldots,c_n\}$)
Il testo non fornisce delle condizioni di integrabilità, ma, detta $\lambda$ la misura di Lebesgue, definisce l'integrale di $s$ nel seguente modo:
\[
\int_X s(x)\;d\lambda=\sum_{i=1}^{n} c_i\lambda(A_i).
\]
Ora, è chiaro che per come è definito, l'integrale può assumere il valore $+\infty$, inoltre, si utilizza la convenzione che $0\cdot(+\infty)=0$. La definizione di funzione semplice data non lascia spazio ad interpretazioni, nel senso che una funzione semplice, in generale, può scriversi in tanti modi diversi, ma il modo di scriverla di cui sopra, detta forma canonica, è unico.
Oltre al testo sopra citato mi sono state fornite delle dispense nelle quali una funzione semplice è una qualunque funzione scrivibile come
\[
s(x)=\sum_{i=1}^{n} c_i\chi_{A_i}(x),
\]
dove $c_i\in\mathbb{R}$ e gli $A_i$ sono insieme misurabili. Inoltre, senza ledere la generalità, si può sempre supporre che $c_i\ne 0$ e che gli $A_i$ siano disgiunti, in pratica, è come se "aggiustassimo" l'immagine della funzione. Quello che mi lascia perplesso è la definizione di integrabilità: $s$ è integrabile se $\lamda(\cup_{i=1}^n A_i)<+\infty$ in tal caso si pone:
\[
\int_X s(x)\;d\lambda=\sum_{i=1}^{n} c_i\lambda(A_i).
\]
A me sembra che questa ultima definizione sia meno generale della prima, in quanto per essere integrabile una funzione semplice $s$ deve o essere definita su un insieme finito oppure deve valere $0$ su insiemi illimitati (giusto?
), perché ad esempio se\[
s_1(x)=
\begin{cases}
1
& \text{se $x\in [0,1]$} \\
2 & \text{se $x\in(1,2]$} \\
0 & \text{se $x\in(2,+\infty)$}
\end{cases}
\]
Stando alla seconda definizione $s_1(x)$ non è integrabile, ma siccome dobbiamo farne l'integrale possiamo non considerare la parte dove vale $0$ e considerare
\[
s_1(x)=
\begin{cases}
1
& \text{se $x\in [0,1]$} \\
2 & \text{se $x\in(1,2]$}
\end{cases}
\]
così facendo è integrabile e l'integrale fatto con le due definizioni coincide, anche se con la prima avremmo potuto procedere senza togliere questa parte vista la convenzione.
Vi chiedo solo se queste mie considerazioni sono esatte e se ci sono altre considerazioni da fare sulla due definizioni,
Vi ringrazio per il tempo che mi dedicherete.
Risposte
La condizione nella seconda definizione io non l'ho mai vista. Di solito si prende uno spazio di misura \( (X, \mathcal{A} , \mu ) \) e si definisce funzione semplice una funzione \( s : X \to [0, +\infty) \) t.c. esistano un \( N \in \mathbb{N}_0 \) , \( \{ c_1, \dots, c_N \} \subset [0, \infty) \) distinti e \( \{A_1, \dots, A_N \} \subset \mathcal{A} \) disgiunti a coppie tali che:
\[ s(x) = \sum_{i=1}^N \chi_{A_i}(x) c_i \quad \quad \forall x \in X \]
e l'integrale di $s$ è per definizione
\[ \int_X s d\mu := \sum_{i=1}^N \mu(A_i)c_i \]
con la solita convenzione che \( 0 \cdot \infty =0 \). Ad esempio trovi questa definizione su Rudin, Real and Complex Analysis.
Poi:
Perché dovrebbe farlo? Deve ancora dirti cosa è un integrale! Forse intendevi misurabilità? Be' in teoria dovrebbe perché devi calcolare la misura di ogni $A_i$ quindi devono essere misurabili.
Eh, qua deve farlo, perché avendo assunto i $c_i$ di segno variabile potresti trovarti nel caso, nella sommatoria, di dover fare $+ \infty - \infty$ che non è definito. Di fatto questo è il problema quando devi definire l'integrabilità di funzioni non positive. Non ho mai visto usare la tua seconda definizione... che non vuol dire che è sbagliata però non segue il percorso (standard?) che ho in mente:
1. Integrale per funzioni semplici (come le ho definite io)
2. Integrale per funzioni misurabili positive
3. Integrale per funzioni misurabili (usando la parte positiva e negativa della funzione)
Ma in teoria si, se assumi nella definizione $c_i \ne 0$, infatti \( s_1 \) si può scrivere come
\[ s_1(x) = \chi_{[0,1]}(x) + 2\chi_{(1, 2]}(x) \]
\[ s(x) = \sum_{i=1}^N \chi_{A_i}(x) c_i \quad \quad \forall x \in X \]
e l'integrale di $s$ è per definizione
\[ \int_X s d\mu := \sum_{i=1}^N \mu(A_i)c_i \]
con la solita convenzione che \( 0 \cdot \infty =0 \). Ad esempio trovi questa definizione su Rudin, Real and Complex Analysis.
Poi:
"elatan":
Il testo non fornisce delle condizioni di integrabilità
Perché dovrebbe farlo? Deve ancora dirti cosa è un integrale! Forse intendevi misurabilità? Be' in teoria dovrebbe perché devi calcolare la misura di ogni $A_i$ quindi devono essere misurabili.
"elatan":
Quello che mi lascia perplesso è la definizione di integrabilità: $ s $ è integrabile se $ \lamda(\cup_{i=1}^n A_i)<+\infty $
Eh, qua deve farlo, perché avendo assunto i $c_i$ di segno variabile potresti trovarti nel caso, nella sommatoria, di dover fare $+ \infty - \infty$ che non è definito. Di fatto questo è il problema quando devi definire l'integrabilità di funzioni non positive. Non ho mai visto usare la tua seconda definizione... che non vuol dire che è sbagliata però non segue il percorso (standard?) che ho in mente:
1. Integrale per funzioni semplici (come le ho definite io)
2. Integrale per funzioni misurabili positive
3. Integrale per funzioni misurabili (usando la parte positiva e negativa della funzione)
"elatan":
Stando alla seconda definizione $ s_1(x) $ non è integrabile
Ma in teoria si, se assumi nella definizione $c_i \ne 0$, infatti \( s_1 \) si può scrivere come
\[ s_1(x) = \chi_{[0,1]}(x) + 2\chi_{(1, 2]}(x) \]
Grazie Bremen000 per la tua risposta. Anche io non avevo visto la seconda definizione su nessun testo, ma solo su queste dispense ed, appunto, sto cercando di venirne a capo.
Quello che secondo me vuole dire la seconda definizione è di non considerare insiemi $A_i$ di misura infinita (ma questo sarebbe troppo restrittivo), oppure, non suppore che tutti i $c_i$ siano diversi da zero e far valere $0$ su insiemi di misura infinita.
Così facendo potremmo utilizzare la decrescenza per dedurre l'integrrabilità, ad esempio se la funzione semplice $r_1(x)$ è integrabile, nel senso della seconda definizione, se $r_2(x)\ler_1(x)$ anche $r_2(x)$ è integrabile, in quanto continuerà a valere $0$ su insiemi di misura infinita.
E' chiaro che perdiamo qualcosa però della funzione semplice, perché quando ne facciamo l'integrale, affinché sia verificata la condizione $\lambda(\cup_{i=1}^n A_i)<\infty$ non dobbiamo considerare l'insieme di misura infinita, quindi stando alla seconda definizione è come se tutte le funzioni semplici integrabili vengano considerate su insiemi finiti.
La situazione è un pochino contorta
Non riesco a capire il perché di questa definizione e non procedere come in tutti i testi "normali".
Quello che secondo me vuole dire la seconda definizione è di non considerare insiemi $A_i$ di misura infinita (ma questo sarebbe troppo restrittivo), oppure, non suppore che tutti i $c_i$ siano diversi da zero e far valere $0$ su insiemi di misura infinita.
Così facendo potremmo utilizzare la decrescenza per dedurre l'integrrabilità, ad esempio se la funzione semplice $r_1(x)$ è integrabile, nel senso della seconda definizione, se $r_2(x)\ler_1(x)$ anche $r_2(x)$ è integrabile, in quanto continuerà a valere $0$ su insiemi di misura infinita.
E' chiaro che perdiamo qualcosa però della funzione semplice, perché quando ne facciamo l'integrale, affinché sia verificata la condizione $\lambda(\cup_{i=1}^n A_i)<\infty$ non dobbiamo considerare l'insieme di misura infinita, quindi stando alla seconda definizione è come se tutte le funzioni semplici integrabili vengano considerate su insiemi finiti.
La situazione è un pochino contorta
Non riesco a capire il perché di questa definizione e non procedere come in tutti i testi "normali".
Ma poi queste dispense (sempre diffidare delle dispense) come procedono nel definire l'integrale in generale?
Probabilmente poi si arriva a una definizione equivalente con due strade diverse...
Probabilmente poi si arriva a una definizione equivalente con due strade diverse...
ehhhh. Alla fine l'integrale di una funzione misurabile non negativa viene definito come limite di una successione di funzioni semplici non negative....
Eh, credo proprio che allora venga fuori che le funzioni misurabili integrabili siano esattamente le stesse per le due definizioni! Sul come bisognerebbe guardare proprio lemma per lemma anche perché è proprio diverso, se qua fai il limite.
Cioè nel procedimento "standard" che conosco io, si dimostra che ogni funzione misurabile positiva può essere approssimata dal basso da funzioni semplici (standard) positive. L'integrale di una funzione misurabile positiva è ottenuto come il sup degli integrali delle funzioni semplici (standard) positive che l'approssimano dal basso.
Boh, non saprei dirti di più ma sono certo che qualcuno più dotto di me passerà per questo post!
Cioè nel procedimento "standard" che conosco io, si dimostra che ogni funzione misurabile positiva può essere approssimata dal basso da funzioni semplici (standard) positive. L'integrale di una funzione misurabile positiva è ottenuto come il sup degli integrali delle funzioni semplici (standard) positive che l'approssimano dal basso.
Boh, non saprei dirti di più ma sono certo che qualcuno più dotto di me passerà per questo post!
Allora definire l'integrale di una funzione misurabile non negativa come il sup dell'integrale delle semplici è un passo indietro a definirle come limite, nel senso che la definizione con il sup è la più generale possibile, poi si mostra attraverso un teorema che le due cose sono uguali.
Io non capisco il senso della seconda definizione di integrabilità della funzione semplice, mistero.... Grazie per la pazienza!
Io non capisco il senso della seconda definizione di integrabilità della funzione semplice, mistero.... Grazie per la pazienza!
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