Successione infinitesima in uno spazio vettoriale topologico
È vero che se ho una successione infinitesima ${x_n}$ in uno spazio vettoriale topologico (reale o complesso), allora esiste una successione di scalari ${\lambda_n}$, tendente a $\infty$ tale che $\lambda_n x_n$ è infinitesima?
Sarebbe una proposizione del Rudin "Functional analysis", ma lì assume che lo spazio sia metrizzabile.
Mi chiedevo se fosse vero anche in questo caso più generale che ho posto io.
Sarebbe una proposizione del Rudin "Functional analysis", ma lì assume che lo spazio sia metrizzabile.
Mi chiedevo se fosse vero anche in questo caso più generale che ho posto io.
Risposte
Vuoi dire "tendente a \(0\)"?
Si per infinitesima intendo tendente a $0$.
No, voglio dire che non mi convince "\(\lambda_n\) tendente a \(\infty\)".
Perché?
Perché nella versione originale del post non avevi scritto che \(x_n\) è infinitesima, credo. 
solo un qui pro quo.
Con questa ipotesi, il problema non è molto interessante (per me) per la ragione seguente. L'esempio standard di spazio non metrizzabile è \(\ell^2\) con la topologia debole. Ma tale spazio ha la proprietà che tutti gli insiemi limitati in norma sono metrizzabili; in particolare, ogni successione infinitesima è definitivamente contenuta in un insieme metrizzabile e si può applicare la costruzione di Rudin.
Se vuoi cercare controesempi all'affermazione che dici dovresti considerare duali di spazi non separabili; https://math.stackexchange.com/q/914570/8157 Ma è una cosa a cui non penso dedicarmi.
solo un qui pro quo. Con questa ipotesi, il problema non è molto interessante (per me) per la ragione seguente. L'esempio standard di spazio non metrizzabile è \(\ell^2\) con la topologia debole. Ma tale spazio ha la proprietà che tutti gli insiemi limitati in norma sono metrizzabili; in particolare, ogni successione infinitesima è definitivamente contenuta in un insieme metrizzabile e si può applicare la costruzione di Rudin.
Se vuoi cercare controesempi all'affermazione che dici dovresti considerare duali di spazi non separabili; https://math.stackexchange.com/q/914570/8157 Ma è una cosa a cui non penso dedicarmi.
"dissonance":
Perché nella versione originale del post non avevi scritto che \(x_n\) è infinitesima, credo.
Si è vero. Ti ringrazio per avermi risposto
Se a qualcuno interessasse ancora ho visto che c'è un esercizio del Rudin che dice che nell'insieme delle funzioni $f:I->CC$ dove $I=[0,1]$ su cui si mette la topologia indotta dalle seminorme ${p_x(f)=|f(x)|}_(x\inI)$ (cioè $CC^I$ con la topologia prodotto, se non mi sbaglio) esiste una successione $f_n$ infinitesima tale che per ogni successione $(\lambda_n)_(n\inNN)\inCC^NN$ divergente si ha che $\lambda_n f_n$ non è infinitesima.
EDIT: Il motivo è che $|I|=|{(\lambda_n)_(n\inNN)\inCC^NN|\lambda_n->0}|$ perché $|I|=|CC|<=|{(\lambda_n)_(n\inNN)\inCC^NN|\lambda_n->0}|<=|CC^NN|=|CC|^|NN|=|CC|$. Quindi $EE F:I->{(\lambda_n)_(n\inNN)\inCC^NN|\lambda_n->0}$ biettiva, quindi considero $f_n(x)=F(x)_n$. Per definizione $AAx\inI, f_n(x)$ è infinitesima, quindi lo è $f_n$, ma per ogni successione $(\lambda_n)_(n\inNN)\inCC^NN$ divergente si ha che $f_n(y)=1AAn\inNN$ con $y=F^(-1)((1/\lambda_n)_(n\inNN))$.
EDIT: Il motivo è che $|I|=|{(\lambda_n)_(n\inNN)\inCC^NN|\lambda_n->0}|$ perché $|I|=|CC|<=|{(\lambda_n)_(n\inNN)\inCC^NN|\lambda_n->0}|<=|CC^NN|=|CC|^|NN|=|CC|$. Quindi $EE F:I->{(\lambda_n)_(n\inNN)\inCC^NN|\lambda_n->0}$ biettiva, quindi considero $f_n(x)=F(x)_n$. Per definizione $AAx\inI, f_n(x)$ è infinitesima, quindi lo è $f_n$, ma per ogni successione $(\lambda_n)_(n\inNN)\inCC^NN$ divergente si ha che $f_n(y)=1AAn\inNN$ con $y=F^(-1)((1/\lambda_n)_(n\inNN))$.
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