Successione di funzioni semplici
Salve a tutti:)
Sia $f in L^p(a,b)$ con $p>=1$
Mi costruisco una successione di funzioni semplici che convergono a $f$ in $L^p$
Sia $\Pi^n={a=t_0, t_1,...,t_(2^n)=b}$ una partizione dell'intervallo $[a,b]$ equispaziata
(cioè $t_(i+1)-t_i=(b-a)/(2^n) $ $AA i in [0,2^n-1]$)
Definisco:
$f^n(t)=\sum_{k=0}^(2^n-1) f_i*\chi_("["t_i, t_(i+1)")")(t)$
in cui $\chi$ è la funzione caratteristica dell'intervallo $[t_i, t_(i+1))$ ed i coefficienti $f_i$ sono definiti da:
-$f_0=0$
-$f_i=1/(t_i-t_(i-1))\int_{t_(i-1)}^{t_i} f(s) ds$ (media integrale di $f$ nell'intervallo sinistro di $t_i$)
E' vero che $ \norm(f^n)_p <= \norm(f^(n+1))_p$?
Non capisco la dimostrazione.
Prima si mostra che:
$\int_{a)^{b} |f^n(s)|^p ds$ $<= \int_{a)^{b} |f(s)|^p ds$ (e ci sono!).
Poi sia $g=f^(n+1) rArr g^n=f^n$
Ecco questa implicazione non mi convince! Mi sono fatta un disegnino e non mi torna.
Ho preso n=1
Nell'intervallo $[t_0,t_2)$ entrambe $f^1$ e $g^1$ valgono 0 e quindi sono uguali.
Nell'intervallo $[t_2, t_4)$ invece:
$f^1=2/(b-a)*\int_{t_0)^{t_2} f(s) ds$
$g^1=2/(b-a)*\int_{t_0)^{t_1} f(s) ds$
Dove sbaglio? Grazie mille e buona Pasqua a tutti!
Sia $f in L^p(a,b)$ con $p>=1$
Mi costruisco una successione di funzioni semplici che convergono a $f$ in $L^p$
Sia $\Pi^n={a=t_0, t_1,...,t_(2^n)=b}$ una partizione dell'intervallo $[a,b]$ equispaziata
(cioè $t_(i+1)-t_i=(b-a)/(2^n) $ $AA i in [0,2^n-1]$)
Definisco:
$f^n(t)=\sum_{k=0}^(2^n-1) f_i*\chi_("["t_i, t_(i+1)")")(t)$
in cui $\chi$ è la funzione caratteristica dell'intervallo $[t_i, t_(i+1))$ ed i coefficienti $f_i$ sono definiti da:
-$f_0=0$
-$f_i=1/(t_i-t_(i-1))\int_{t_(i-1)}^{t_i} f(s) ds$ (media integrale di $f$ nell'intervallo sinistro di $t_i$)
E' vero che $ \norm(f^n)_p <= \norm(f^(n+1))_p$?
Non capisco la dimostrazione.
Prima si mostra che:
$\int_{a)^{b} |f^n(s)|^p ds$ $<= \int_{a)^{b} |f(s)|^p ds$ (e ci sono!).
Poi sia $g=f^(n+1) rArr g^n=f^n$
Ecco questa implicazione non mi convince! Mi sono fatta un disegnino e non mi torna.
Ho preso n=1
Nell'intervallo $[t_0,t_2)$ entrambe $f^1$ e $g^1$ valgono 0 e quindi sono uguali.
Nell'intervallo $[t_2, t_4)$ invece:
$f^1=2/(b-a)*\int_{t_0)^{t_2} f(s) ds$
$g^1=2/(b-a)*\int_{t_0)^{t_1} f(s) ds$
Dove sbaglio? Grazie mille e buona Pasqua a tutti!
Risposte
Innanzitutto, perché consideri la funzione in $[t_0,t_2[$ e $[t_2,t_4[$ invece che in $[t_0,t_1[$, $[t_1,t_2[$, $[t_2,t_3[$ e $[t_3,t_4[$?
Poi, che libro stai seguendo?
Poi, che libro stai seguendo?
Grazie mille @gugo82 per avermi risposto e per la correzione. Avevo un problema con le parentesi quadre 
Purtroppo sto seguendo le dispense del prof e non riesco a trovare nessun libro che riporti questa dimostrazione (è un corso di calcolo stocastico). Facciamo questa costruzione per introdurre l'integrale di Ito.
Avendo scelto n=1, ho quindi solo 2 intervalli nel caso di $f^1$ e $g^1$
(dovrei chiamarli $[t_0, t_1)$ e $[t_1, t_2)$ che hanno ampiezza di $(b-a)/2$. Per non confondermi con il passaggio in $f^2$ li chiamerò $[t_0, t_2)$ e$[t_2, t_4)$ rispettivamente. O forse è proprio qui che cado?)
I 4 intervalli li ho in $g=f^2$.
Quindi, data la mia $f in L^p[a,b]$, costruisco:
$\star$ $f^1$
-In $[t_0, t_2)$ $f^1=0$
-In $[t_2, t_4)$ $f^1=2/(b-a)*\int_{0}^{t_2} f(s) ds$
$\star$ $f^2$
-In $[t_0, t_1)$ $f^2=0$
-In $[t_1, t_2)$ $f^2=4/(b-a)*\int_{0}^{t_1} f(s) ds$
-In $[t_2, t_3)$ $f^2=4/(b-a)*\int_{t_1}^{t_2} f(s) ds$
-In $[t_3, t_4)$ $f^2=4/(b-a)*\int_{t_2}^{t_3} f(s) ds$
$\star$ $g^1=(f^2)^1$
-In $[t_0, t_2)$ $g^1=0$
-In $[t_2, t_4)$ $g^1=2/(b-a)*\int_{0}^{t_1} f(s) ds$ (perchè faccio la media di $f^2$ nei primi due intervalli)
E quindi non mi torna che $f^1=g^1$ perchè l'estremo di integrazione è diverso!
Nella dimostrazione c'è scritto soltanto "$f^(n+1)$ ha una partizione più fine di $f^n$ e quindi $g$ approssimata in $2^n$ intervalli è proprio uguale a $f^n$ "
Mi sono fatta quest'esempio per capire meglio e invece mi sono confusa ancora più le idee (perchè in un certo senso al crescere di n diventa sempre più piccolo il primo intervallo in cui la funzione è nulla, quindi anche l'integrale cresce avendo il modulo e sarebbe giusta la disuguaglianza delle norme).
Dando comunque per buona questa implicazione, la dimostrazione è finita perchè:
$\int_{a}^{b} |f^n(s)|^p ds = \int_{a}^{b} |g^n(s)|^p ds <= \int_{a}^{b} |g(s)|^p ds = \int_{a}^{b} |f^(n+1)(s)|^p ds$
Purtroppo sto seguendo le dispense del prof e non riesco a trovare nessun libro che riporti questa dimostrazione (è un corso di calcolo stocastico). Facciamo questa costruzione per introdurre l'integrale di Ito.
Avendo scelto n=1, ho quindi solo 2 intervalli nel caso di $f^1$ e $g^1$
(dovrei chiamarli $[t_0, t_1)$ e $[t_1, t_2)$ che hanno ampiezza di $(b-a)/2$. Per non confondermi con il passaggio in $f^2$ li chiamerò $[t_0, t_2)$ e$[t_2, t_4)$ rispettivamente. O forse è proprio qui che cado?)
I 4 intervalli li ho in $g=f^2$.
Quindi, data la mia $f in L^p[a,b]$, costruisco:
$\star$ $f^1$
-In $[t_0, t_2)$ $f^1=0$
-In $[t_2, t_4)$ $f^1=2/(b-a)*\int_{0}^{t_2} f(s) ds$
$\star$ $f^2$
-In $[t_0, t_1)$ $f^2=0$
-In $[t_1, t_2)$ $f^2=4/(b-a)*\int_{0}^{t_1} f(s) ds$
-In $[t_2, t_3)$ $f^2=4/(b-a)*\int_{t_1}^{t_2} f(s) ds$
-In $[t_3, t_4)$ $f^2=4/(b-a)*\int_{t_2}^{t_3} f(s) ds$
$\star$ $g^1=(f^2)^1$
-In $[t_0, t_2)$ $g^1=0$
-In $[t_2, t_4)$ $g^1=2/(b-a)*\int_{0}^{t_1} f(s) ds$ (perchè faccio la media di $f^2$ nei primi due intervalli)
E quindi non mi torna che $f^1=g^1$ perchè l'estremo di integrazione è diverso!
Nella dimostrazione c'è scritto soltanto "$f^(n+1)$ ha una partizione più fine di $f^n$ e quindi $g$ approssimata in $2^n$ intervalli è proprio uguale a $f^n$ "
Mi sono fatta quest'esempio per capire meglio e invece mi sono confusa ancora più le idee (perchè in un certo senso al crescere di n diventa sempre più piccolo il primo intervallo in cui la funzione è nulla, quindi anche l'integrale cresce avendo il modulo e sarebbe giusta la disuguaglianza delle norme).
Dando comunque per buona questa implicazione, la dimostrazione è finita perchè:
$\int_{a}^{b} |f^n(s)|^p ds = \int_{a}^{b} |g^n(s)|^p ds <= \int_{a}^{b} |g(s)|^p ds = \int_{a}^{b} |f^(n+1)(s)|^p ds$
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