Succession in un compatto che non possiede sottosuccessioni convergenti.
Per \(j \in \mathbb{Z} \) consideriamo la media \( \delta_j \in M(\mathbb{Z} \), dove \( \delta_j \) è a Dirac Mass. Definiamo una successione \( \{ \mu_n \} \) nella palla unitaria chiusa \(B\) nel seguente modo
\[\mu_n = \frac{1}{n} \sum_{j=1}^{n} \delta_j \]
Nonostante \(M(Z)\) è compatto, dimostra che \( \{ \mu_n\} \) non possiede sottosuccessioni convergenti.
La mia idea è di trovare un insieme \(A = \bigcup_{i \geq 0} [a_i,b_i] \cap \mathbb{Z} \) tale che per ogni sottosuccessione \( \{ \mu_{n_j} \} \) si ha che \( \mu_{n_j}(A) \approx 1 \) per \(j\) dispari e \( \mu_{n_j}(A) \approx 0 \) per \(j\) pari (o viceversa) e quindi la sottosuccessione \( \{ \mu_{n_j}(A)\} \) non può convergere perché avrebbe due punti di accumulazione.
Ad esempio già \( \{ \mu_n \} \) penso che non converga, poiché penso che \( A= \bigcup_{i \geq 0} [10^{2i}, 10^{2i+1} ] \cap \mathbb{Z} \) e prendendo \( \{ \mu_{n_j} \} \) con \(n_j = 10^j \) penso che vada bene, però è specifico per la sottosuccessione.
\[\mu_n = \frac{1}{n} \sum_{j=1}^{n} \delta_j \]
Nonostante \(M(Z)\) è compatto, dimostra che \( \{ \mu_n\} \) non possiede sottosuccessioni convergenti.
La mia idea è di trovare un insieme \(A = \bigcup_{i \geq 0} [a_i,b_i] \cap \mathbb{Z} \) tale che per ogni sottosuccessione \( \{ \mu_{n_j} \} \) si ha che \( \mu_{n_j}(A) \approx 1 \) per \(j\) dispari e \( \mu_{n_j}(A) \approx 0 \) per \(j\) pari (o viceversa) e quindi la sottosuccessione \( \{ \mu_{n_j}(A)\} \) non può convergere perché avrebbe due punti di accumulazione.
Ad esempio già \( \{ \mu_n \} \) penso che non converga, poiché penso che \( A= \bigcup_{i \geq 0} [10^{2i}, 10^{2i+1} ] \cap \mathbb{Z} \) e prendendo \( \{ \mu_{n_j} \} \) con \(n_j = 10^j \) penso che vada bene, però è specifico per la sottosuccessione.
Risposte
A occhio si dovrebbe riuscire a dimostrare che se una sottosuccessione converge, converge a $0$, e poi dovrebbe bastare calcorare il liminf delle norme e se viene positivo hai fatto.
Scusa ma \(0\) non mi sembra una media. La definizione che ho di media è la seguente: Una media \( \mu\) su \(X\) è una mappa \( \mathcal{P}(X) \to [0,1] \) tale che
\[ \mu(X) = 1 \]
e
\[ \forall A,B \text{ tale che } A \cap B = \emptyset, \mu(A \cup B) = \mu(A)+\mu(B)\]
con \( M(X) \) indico l'insieme delle media su \(X\).
Non mi sembra che \(0(\mathbb{Z})=1\).
\[ \mu(X) = 1 \]
e
\[ \forall A,B \text{ tale che } A \cap B = \emptyset, \mu(A \cup B) = \mu(A)+\mu(B)\]
con \( M(X) \) indico l'insieme delle media su \(X\).
Non mi sembra che \(0(\mathbb{Z})=1\).
In realtà io questa cosa delle medie non ce l'ho presente, ma mi sembra sia tipo una probabilità, solo con l'additività finita.
Io non so bene come aiutarti ma se devo andare a intuito ti direi: ragiona come se fossero probabilità, tu mi dirai: ma comunque $0$ non è una probabilità! Chiaramente, ma è una misura, e puoi inserire lo spazio delle probabilità in quello delle misure (finite), quindi anche lo zero. Il mio consiglio iniziale sarebbe idealmente da applicare in questo contesto e poi dovresti ragionare per analogia per le medie. Vedi se è fattibile.
Io non so bene come aiutarti ma se devo andare a intuito ti direi: ragiona come se fossero probabilità, tu mi dirai: ma comunque $0$ non è una probabilità! Chiaramente, ma è una misura, e puoi inserire lo spazio delle probabilità in quello delle misure (finite), quindi anche lo zero. Il mio consiglio iniziale sarebbe idealmente da applicare in questo contesto e poi dovresti ragionare per analogia per le medie. Vedi se è fattibile.
Mah.. una media è una misura di probabilità finitamente additiva, da quello che ho capito serve per definire il concetto di gruppo amenabile. Data una funzione \(f: X \to Y \) questo abbiamo \(f^{-1} : \mathcal{P}(Y) \to \mathcal{P}(X)\) e otteniamo dunque \( f_{\ast} : M(X) \to M(Y) \) definita da \( (f_{\ast} \mu )(A) = \mu(f^{-1}A)\) per \( \mu \in M(X) \) e \(A \subseteq Y\). Grazie a questo data una qualsiasi azione di gruppo \(G \curvearrowright X \), possiamo definire in modo del tutto naturale un'azione \( G \curvearrowright M(X)\) da \(g \cdot \mu = g_{\ast} \mu \)
Ora una media \( \mu \in M(X) \) è detta fissata da \(G\) se \(g_{\ast} \mu = \mu \), un'azione di gruppo è detta amenabile se esiste una media \( \mu \) fissata da \(G\) e un gruppo è amenabile se \( G \curvearrowright G \) (la moltiplicazione a sinistra) è amenabile.
Ora una media \( \mu \in M(X) \) è detta fissata da \(G\) se \(g_{\ast} \mu = \mu \), un'azione di gruppo è detta amenabile se esiste una media \( \mu \) fissata da \(G\) e un gruppo è amenabile se \( G \curvearrowright G \) (la moltiplicazione a sinistra) è amenabile.
Un attimo solo, aspetta, che cos'è $M(X)$ e cosa intendi per "è compatto"?
EDIT: OK, leggendo meglio vedo che $M(X)$ è lo spazio delle "probabilità finitamente additive", ma che roba strana. Resta comunque la domanda: in che senso questo spazio sarebbe compatto?
EDIT: OK, leggendo meglio vedo che $M(X)$ è lo spazio delle "probabilità finitamente additive", ma che roba strana. Resta comunque la domanda: in che senso questo spazio sarebbe compatto?
Perché al paese mio $M(X)$, qualunque cosa sia, non può mica essere compatto. La successione \(\delta_{n}\) è limitata e non ha estratte convergenti. Ora magari c'è qualche voodoo dell'analisi funzionale per cui se uno richiede solo finita additività, allora in qualche topologia astrusa lo spazio diventa compatto, non lo so. Ma di sicuro è una compattezza "finta", alla fine quella successione \(\delta_{n}\) sempre lì è.
\( M(X) = \{ \text{medie su } X \} \).
Lemma: \( M(X) \) è un sottoinsieme convesso dello spazio vettoriale \( \mathbb{R}^{\mathcal{P}(X)} = \{ \text{ funzioni } f: \mathcal{P}(X) \to \mathbb{R} \} \).
Dimostrazione:
Abbiamo che se \( \mu, \mu' \in M(X) \) e \( 0 \leq t \leq 1 \), allora \( \nu = t \mu + (1-t)\mu' \in M(X)\).
\[ \nu(A \sqcup B ) = t \mu (A \sqcup B) + (1-t) \mu'(A \sqcup B) \]
\[ = t \mu(A) + t \mu (B) + (1-t) \mu'(A) + (1-t)\mu'(B) \]
\[ = \nu(A) + \nu(B) \]
Dotiamo \( M(X) \) con la topologia prodotto realizzando che \( M(X) \subseteq [0,1]^{\mathcal{P}(X)} \subseteq \mathbb{R}^{\mathcal{P}(X)} \). Per il teorema di Tychonoff abbiamo che \( [0,1]^{\mathcal{P}(X)} \) è compatto rispetto alla topologia prodotto. In più, abbiamo che
\[ \mu_n \to \mu \Leftrightarrow \forall A \in \mathcal{P}(X) , \mu_n(A) \to \mu(A) \]
Proposizione: \(M(X)\) è compatto
Dimostrazione:
Dobbiamo dimostrare che \(M(X)\) è chiuso in \( [0,1]^{\mathcal{P}(X)} \). Poiché un sottoinsieme chiuso di un sottoinsieme compatto è compatto. Abbiamo che
\[ M(X) = \left( \bigcap_{ \substack{A,B \in \mathcal{P}(X) \\ \text{disgiunti} } } \{ \mu: \mu(A \cup B) = \mu(A) + \mu(B) \} \right) \cap \{ \mu : \mu(X) =1 \} \]
tutti gli insiemi sono chiusi, poniamo condizioni di chiusura su un numero finito di coordinate di \( [0,1]^{\mathcal{P}(X)} \), dunque \( M(X) \) è chiuso.
Lemma: \( M(X) \) è un sottoinsieme convesso dello spazio vettoriale \( \mathbb{R}^{\mathcal{P}(X)} = \{ \text{ funzioni } f: \mathcal{P}(X) \to \mathbb{R} \} \).
Dimostrazione:
Abbiamo che se \( \mu, \mu' \in M(X) \) e \( 0 \leq t \leq 1 \), allora \( \nu = t \mu + (1-t)\mu' \in M(X)\).
\[ \nu(A \sqcup B ) = t \mu (A \sqcup B) + (1-t) \mu'(A \sqcup B) \]
\[ = t \mu(A) + t \mu (B) + (1-t) \mu'(A) + (1-t)\mu'(B) \]
\[ = \nu(A) + \nu(B) \]
Dotiamo \( M(X) \) con la topologia prodotto realizzando che \( M(X) \subseteq [0,1]^{\mathcal{P}(X)} \subseteq \mathbb{R}^{\mathcal{P}(X)} \). Per il teorema di Tychonoff abbiamo che \( [0,1]^{\mathcal{P}(X)} \) è compatto rispetto alla topologia prodotto. In più, abbiamo che
\[ \mu_n \to \mu \Leftrightarrow \forall A \in \mathcal{P}(X) , \mu_n(A) \to \mu(A) \]
Proposizione: \(M(X)\) è compatto
Dimostrazione:
Dobbiamo dimostrare che \(M(X)\) è chiuso in \( [0,1]^{\mathcal{P}(X)} \). Poiché un sottoinsieme chiuso di un sottoinsieme compatto è compatto. Abbiamo che
\[ M(X) = \left( \bigcap_{ \substack{A,B \in \mathcal{P}(X) \\ \text{disgiunti} } } \{ \mu: \mu(A \cup B) = \mu(A) + \mu(B) \} \right) \cap \{ \mu : \mu(X) =1 \} \]
tutti gli insiemi sono chiusi, poniamo condizioni di chiusura su un numero finito di coordinate di \( [0,1]^{\mathcal{P}(X)} \), dunque \( M(X) \) è chiuso.
La cosa strana è che a corso abbiamo visto questo teorema
\( \mathbb{Z} \) è un gruppo additivo amenabile
Dimostrazione:
Per evitare confusione scriviamo \( \mathbb{Z} \) moltiplicativamente, con generatore \(g \in \mathbb{Z} \), i.e. \(g\) corrisponde al \(1 \in \mathbb{Z} \) e \(g^n \) corrisponde a \(n\). Questo significa che per \(i \in \mathbb{Z} \) abbiamo che \(gi = i+1 \). Ora per \(n \in \mathbb{N} \) definiamo \( \mu_n \in M( \mathbb{Z} ) \) nel seguente modo
\[ \mu_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \delta_i \]
allora \( g_{\ast} \delta_i (A) = \delta_i (g^{-1} A) \) per ogni \( A \subseteq \mathbb{Z} \) e \( i \in g^{-1} A \) se e solo se \( i+1 = g i \in A \) se e solo se \( \delta_{i+1} (A) = 1 \). Pertanto abbiamo che \( g_{\ast} \delta_i = \delta_{i+1} \) e dunque
\[ g_{\ast} \mu_n = \frac{1}{n} \sum_{i=2}^{n+1} \delta_i \]
Allora \( g_{\ast} \mu_n - \mu_n = \frac{1}{n} ( \delta_{n+1} - \delta_1 ) \leq 1/n \). Non è una media ma è comunque una funzione da \( \mathcal{P}(\mathbb{Z}) \) a \( \mathbb{R} \). Questo implica che \( \lim_{n \to \infty} g_{\ast} \mu_n - \mu_n = 0 \) rispetto alla topologia prodotto.
Siccome \( M(\mathbb{Z}) \) è compatto allora c'è un punto di accumulazione \( \mu \) di \( \{ \mu_n\}_{n\in \mathbb{N}} \). Ma \(g_{\ast} \) è continuo e dunque \( g_{\ast} \mu \) è un punto di accumulazione di \( \{ g_{\ast} \mu_n \} \), pertanto abbiamo che \( g_{\ast} \mu - \mu \) è un punto di accumulazione di \( \{ g_{\ast} \mu_n - \mu_n \} \). Poiché la successione converge a \(0\) abbiamo che \( g_{\ast} \mu - \mu = 0 \). Pertanto \( \mu \) è fissato da \( \mathbb{Z} \) e dunque \( \mathbb{Z} \) è amenabile.
Ora non capisco come faccia la successione a convergere in un compatto e qualunque sottosuccessione non convergere...
\( \mathbb{Z} \) è un gruppo additivo amenabile
Dimostrazione:
Per evitare confusione scriviamo \( \mathbb{Z} \) moltiplicativamente, con generatore \(g \in \mathbb{Z} \), i.e. \(g\) corrisponde al \(1 \in \mathbb{Z} \) e \(g^n \) corrisponde a \(n\). Questo significa che per \(i \in \mathbb{Z} \) abbiamo che \(gi = i+1 \). Ora per \(n \in \mathbb{N} \) definiamo \( \mu_n \in M( \mathbb{Z} ) \) nel seguente modo
\[ \mu_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \delta_i \]
allora \( g_{\ast} \delta_i (A) = \delta_i (g^{-1} A) \) per ogni \( A \subseteq \mathbb{Z} \) e \( i \in g^{-1} A \) se e solo se \( i+1 = g i \in A \) se e solo se \( \delta_{i+1} (A) = 1 \). Pertanto abbiamo che \( g_{\ast} \delta_i = \delta_{i+1} \) e dunque
\[ g_{\ast} \mu_n = \frac{1}{n} \sum_{i=2}^{n+1} \delta_i \]
Allora \( g_{\ast} \mu_n - \mu_n = \frac{1}{n} ( \delta_{n+1} - \delta_1 ) \leq 1/n \). Non è una media ma è comunque una funzione da \( \mathcal{P}(\mathbb{Z}) \) a \( \mathbb{R} \). Questo implica che \( \lim_{n \to \infty} g_{\ast} \mu_n - \mu_n = 0 \) rispetto alla topologia prodotto.
Siccome \( M(\mathbb{Z}) \) è compatto allora c'è un punto di accumulazione \( \mu \) di \( \{ \mu_n\}_{n\in \mathbb{N}} \). Ma \(g_{\ast} \) è continuo e dunque \( g_{\ast} \mu \) è un punto di accumulazione di \( \{ g_{\ast} \mu_n \} \), pertanto abbiamo che \( g_{\ast} \mu - \mu \) è un punto di accumulazione di \( \{ g_{\ast} \mu_n - \mu_n \} \). Poiché la successione converge a \(0\) abbiamo che \( g_{\ast} \mu - \mu = 0 \). Pertanto \( \mu \) è fissato da \( \mathbb{Z} \) e dunque \( \mathbb{Z} \) è amenabile.
Ora non capisco come faccia la successione a convergere in un compatto e qualunque sottosuccessione non convergere...
Non avevo capito fosse questa la topologia.
Riesci a capire a cosa tende $\mu_n(A)AAA$?
"3m0o":
\[ \mu_n \to \mu \Leftrightarrow \forall A \in \mathcal{P}(X) , \mu_n(A) \to \mu(A) \]
Riesci a capire a cosa tende $\mu_n(A)AAA$?
"3m0o":
Ora non capisco come faccia la successione a convergere in un compatto e qualunque sottosuccessione non convergere...
Quale sarebbe la successione che converge ma non convergono la sue sottosuccessioni?
"otta96":
Riesci a capire a cosa tende $\mu_n(A)AAA$?
Actually no!
EDIT: Cioé per gli insiemi finiti va a zero, ma per gli insiemi infiniti not sure. Già tipo se prendo i pari, ho che la metà penso che sia \(\mu(\text{pari}) = 1/2\), etc. Quindi tipo sarà la "densità"
"otta96":
Quale sarebbe la successione che converge ma non convergono la sue sottosuccessioni?
Esta???
"3m0o":
[...]
\[ \mu_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \delta_i \]
[...]
Siccome \( M(\mathbb{Z}) \) è compatto allora c'è un punto di accumulazione \( \mu \) di \( \{ \mu_n\}_{n\in \mathbb{N}} \).
[...]
"3m0o":
Definiamo una successione \( \{ \mu_n \} \) nella palla unitaria chiusa \(B\) nel seguente modo
\[\mu_n = \frac{1}{n} \sum_{j=1}^{n} \delta_j \]
Nonostante \(M(Z)\) è compatto, dimostra che \( \{ \mu_n\} \) non possiede sottosuccessioni convergenti.
Ma mica dice che ha limite!
Ci hai provato a capirla la prima cosa?
Ci hai provato a capirla la prima cosa?
Esatto, dovrebbe essere la densità, ma non di $A$, quanto piuttosto di $AnnZZ_(>0)$.
Ora che ho capito qual è la topologia e ci ho potuto pensare meglio, in realtà non è la densità perchè dovrebbe essere l'inf e non il lim, a questo punto ho capito cosa intendevi all'inizio, l'idea giusta c'era, non era elaborata bene, prendi tipo $A_2=uuu_(n\inNN)[2^(2n),2^(2n+1)]$, allora $\mu_n(A)$ oscilla tra due valori (ad occhio tra $1/3$ e $2/3$, ma i controlli fatti bene falli tu).
Ora se si considerasse $A_r=uuu_(n\inNN)[r^(2n),r^(2n+1)]nnZZ$ con $r\inRR_(>1)$, forse non si riuscirebbe a trovare una sottosuccessione che fa convergere tutti questi insiemi (${A_r|r>1}$).
Ma non ho un'idea su come dimostrarlo nella pratica.
Ora se si considerasse $A_r=uuu_(n\inNN)[r^(2n),r^(2n+1)]nnZZ$ con $r\inRR_(>1)$, forse non si riuscirebbe a trovare una sottosuccessione che fa convergere tutti questi insiemi (${A_r|r>1}$).
Ma non ho un'idea su come dimostrarlo nella pratica.
Risolto?
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