Su un'uniforme convergenza
Buonasera a tutti.
Consideriamo una funzione $\phi(x)$ cosiddetta "abbastanza buona", nel senso che sia $\phi(x)$ sia tutte le sue derivate di ogni ordine sono un $O(|x|^N)$, per $|x|\to\infty$, con $N\in\mathbb{N}$ noto.
Consideriamo poi l'integrale:
$$\int_{x=-\infty}^\infty \delta(x-t)\phi(x)\mathrm{d}x:=\lim_{n\to\infty}\int_{x=-\infty}^\infty \delta_n(x-t)\phi(x)\mathrm{d}x$$
dove $\delta_n(y)=\sqrt{\frac{n}{\pi}}e^{-ny^2}$ (oppure, nel caso possa tornare mai utile, la sua forma equivalente a supporto compatto \(\displaystyle \delta_n(y)=\frac{e^{-\frac{1}{1-\left(ny\right)^2}}}{\int_{u=-\frac{1}{n}}^{\frac{1}{n}}e^{-\frac{1}{1-\left(nu\right)^2}}\mathrm{d} u}\chi_{\left[-\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right]}\left(x\right) \)).
La mia domanda è: la convergenza del $\lim_{n\to\infty}$ è uniforme rispetto a $t$, date le ipotesi su $\phi(x)$?
La risposta di cui mi sto pian piano convincendo è no, perché sostanzialmente le derivate di $\phi$ possono comunque essere non limitate. Tale limitatezza è infatti ciò che mi sarebbe servito in questo mio tentativo di dimostrazione:
$$\left|\int_{x=-\infty}^\infty \delta_n(x-t)\phi(x)\mathrm{d}x-\phi(t)\right|=\left|\int_{x=-\infty}^\infty \delta_n(x-t)(\phi(x)-\phi(t))\mathrm{d}x\right|\leq \\ \int_{x=-\infty}^\infty \delta_n(x-t)|\phi(x)-\phi(t)|\mathrm{d}x\leq \int_{x=-\infty}^\infty \delta_n(x-t)\cdot|\phi'(\xi)|\cdot|x-t|\mathrm{d}x$$
dove $\xi$ è un opportuno punto nell'intervallo aperto delimitato da $x$ e $t$. A questo punto vorrei tanto maggiorare $|\phi'(\xi)|$ con \(\displaystyle \sup_{y\in\mathbb{R}}|\phi'(y)| \) per rendere il tutto indipendente da $t$ e concludere, ma non posso.
Non mi pare si possa arginare il problema se non aggiungendo l'ipotesi della limitatezza delle derivate su $\phi$, è corretto?
Grazie in anticipo.
PS: il problema non mi si risolve nemmeno se uso la versione delle $\delta_n$ a supporto compatto. In quel caso infatti posso certamente maggiorare in modo lecito con \(\displaystyle \sup_{y\in (t-1/n,t+1/n)}|\phi'(y)| \), ma il tutto dipenderebbe comunque da $t$ e non arriverei all'uniforme convergenza.
Consideriamo una funzione $\phi(x)$ cosiddetta "abbastanza buona", nel senso che sia $\phi(x)$ sia tutte le sue derivate di ogni ordine sono un $O(|x|^N)$, per $|x|\to\infty$, con $N\in\mathbb{N}$ noto.
Consideriamo poi l'integrale:
$$\int_{x=-\infty}^\infty \delta(x-t)\phi(x)\mathrm{d}x:=\lim_{n\to\infty}\int_{x=-\infty}^\infty \delta_n(x-t)\phi(x)\mathrm{d}x$$
dove $\delta_n(y)=\sqrt{\frac{n}{\pi}}e^{-ny^2}$ (oppure, nel caso possa tornare mai utile, la sua forma equivalente a supporto compatto \(\displaystyle \delta_n(y)=\frac{e^{-\frac{1}{1-\left(ny\right)^2}}}{\int_{u=-\frac{1}{n}}^{\frac{1}{n}}e^{-\frac{1}{1-\left(nu\right)^2}}\mathrm{d} u}\chi_{\left[-\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right]}\left(x\right) \)).
La mia domanda è: la convergenza del $\lim_{n\to\infty}$ è uniforme rispetto a $t$, date le ipotesi su $\phi(x)$?
La risposta di cui mi sto pian piano convincendo è no, perché sostanzialmente le derivate di $\phi$ possono comunque essere non limitate. Tale limitatezza è infatti ciò che mi sarebbe servito in questo mio tentativo di dimostrazione:
$$\left|\int_{x=-\infty}^\infty \delta_n(x-t)\phi(x)\mathrm{d}x-\phi(t)\right|=\left|\int_{x=-\infty}^\infty \delta_n(x-t)(\phi(x)-\phi(t))\mathrm{d}x\right|\leq \\ \int_{x=-\infty}^\infty \delta_n(x-t)|\phi(x)-\phi(t)|\mathrm{d}x\leq \int_{x=-\infty}^\infty \delta_n(x-t)\cdot|\phi'(\xi)|\cdot|x-t|\mathrm{d}x$$
dove $\xi$ è un opportuno punto nell'intervallo aperto delimitato da $x$ e $t$. A questo punto vorrei tanto maggiorare $|\phi'(\xi)|$ con \(\displaystyle \sup_{y\in\mathbb{R}}|\phi'(y)| \) per rendere il tutto indipendente da $t$ e concludere, ma non posso.
Non mi pare si possa arginare il problema se non aggiungendo l'ipotesi della limitatezza delle derivate su $\phi$, è corretto?
Grazie in anticipo.
PS: il problema non mi si risolve nemmeno se uso la versione delle $\delta_n$ a supporto compatto. In quel caso infatti posso certamente maggiorare in modo lecito con \(\displaystyle \sup_{y\in (t-1/n,t+1/n)}|\phi'(y)| \), ma il tutto dipenderebbe comunque da $t$ e non arriverei all'uniforme convergenza.
Risposte
le derivate possono essere non limitate
Devi cercare "approssimazioni dell'identità". Se $\phi$ è uniformemente continua la convergenza è uniforme, usando proprio quell'argomento che hai abbozzato. Altrimenti la convergenza può non essere uniforme.
Grazie @dissonance 
Ho fatto un piccolo esempio concreto. Considera la funzione \(f(x)=x^2\), che non è uniformemente continua su \(\mathbb R\). Prendi la successione approssimante dell'unità \(\phi_n(x)=n\mathbf{1}_{[0, 1/n]}(x)\). Allora
\[
f\ast \phi_n(x)=\int_{-\infty}^\infty (x-y)^2\phi_n(y)\, dy=x^2-\frac{x}{n}+\frac{1}{3n^2}.\]
E quindi
\[
\lVert f-f\ast\phi_n\rVert_\infty= \sup_{x\in\mathbb R} \left\lvert \frac{x}{n}-\frac{1}{3n^2}\right\rvert = \infty, \]
perciò la convergenza non è uniforme su \(\mathbb R\) (ma nota che la convergenza è uniforme su ogni intervallo compatto e non è un caso: \(f\) è uniformemente continua su ciascun compatto).
Mi sono divertito a confrontare l'esempio precedente con quest'altro: sia \(g(x)=x\), che invece è una funzione uniformemente continua su tutto \(\mathbb R\). In questo caso abbiamo che
\[
g\ast \phi_n(x)= x-\frac{1}{2n}, \]
perciò
\[
\lVert g-g\ast \phi_n\rVert_\infty = \frac{1}{2n}, \]
e quindi la convergenza è uniforme.
Conclusione: è proprio la continuità uniforme di \(f\) la proprietà che implica la convergenza uniforme di \(f\ast \phi_n\).
\[
f\ast \phi_n(x)=\int_{-\infty}^\infty (x-y)^2\phi_n(y)\, dy=x^2-\frac{x}{n}+\frac{1}{3n^2}.\]
E quindi
\[
\lVert f-f\ast\phi_n\rVert_\infty= \sup_{x\in\mathbb R} \left\lvert \frac{x}{n}-\frac{1}{3n^2}\right\rvert = \infty, \]
perciò la convergenza non è uniforme su \(\mathbb R\) (ma nota che la convergenza è uniforme su ogni intervallo compatto e non è un caso: \(f\) è uniformemente continua su ciascun compatto).
Mi sono divertito a confrontare l'esempio precedente con quest'altro: sia \(g(x)=x\), che invece è una funzione uniformemente continua su tutto \(\mathbb R\). In questo caso abbiamo che
\[
g\ast \phi_n(x)= x-\frac{1}{2n}, \]
perciò
\[
\lVert g-g\ast \phi_n\rVert_\infty = \frac{1}{2n}, \]
e quindi la convergenza è uniforme.
Conclusione: è proprio la continuità uniforme di \(f\) la proprietà che implica la convergenza uniforme di \(f\ast \phi_n\).
Molto bello, grazie del tempo che mi hai dedicato 
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