Studiare zeri e singolarità isolate di una funzione

[kekkok1]

Salve a tutti! Stavo calcolando i poli della seguente funzione e mi trovo che (ovviamente non è l'unico ma è l'unico con cui non mi trovo) Zo=6 sia un polo semplice invece tra i risultati c'è scritto singolarità eliminabile.
Mi trovo che la derivata seconda del numeratore calcolata in Zo sia diversa da zero invece la derivata prima del denominatore calcolare in Zo sia diversa da zero quindi M-N=2-1=1 (polo semplice).
Qualcuno potrebbe aiutarmi?
$(cos(piz) - 1)/(z^2 -7z +6)$

[gugo82]

Ovvio che è $6$ un polo semplice.

La funzione $cos(pi z) - 1$ ha zeri d'ordine $2$, mentre il polinomio al denominatore ha due zeri d'ordine $1$.

[kekkok1]

Ciao , scusami se rispondo dopo vari giorni.
Ho letto un po' e nel libro c'è scritto che ( indicando con M l'ordine dello zero del numeratore e con N l'ordine dello zero del denominatore):
- se M>N allora polo di ordine M-N
- se M$>=$N allora singolarità eliminabile
- se N Non ho ben capito quando poter considerarlo singolarità eliminabile perchè sapevo che fosse una singolarità eliminabile quando N=M e non maggiore o uguale. Può essere un errore del libro?

[gugo82]

Sì ci sono due errori di battitura (che libro usi?).

La faccenda va corretta così:

- se $M>N$ allora zero di ordine $M-N$

- se $M=N$ allora singolarità eliminabile

- se $N
Per maggiori informazioni e per la dimostrazione di questi fatti puoi vedere il thread "Zeri e singolarità di funzioni olomorfe" in cima alla pagina.

[kekkok1]

Grazie mille sia per la risposta che per il thread suggerito.
In realtà non è un vero e proprio libro ma delle slides che ha scritto in fretta il prof per fornire gli strumenti necessari infatti ci sono anche alcuni errori numerici che corregge di volta in volta.
Scusami ma volevo chiedere solo una cosa. Adesso che ho riletto , anche il prof ha scritto M>N zero di ordine M-N ma perchè si tratta di uno zero e non un polo visto che annulla anche il denominatore e non solo il numeratore?

[gugo82]

Fai degli esempi scemi quando non ti convincono dei risultati... Ad esempio, che tipo di punto è lo $0$ per le funzioni $z^4/z$, $z^(10)/z^(10)$ e $z^3/z^7$?

[kekkok1]

rispettivamente zero di ordine 3, singolarità eliminabile, polo di ordine 4 , giusto?

[gugo82]

Già... Basta semplificare per capire.

[kekkok1]

Grazie mille! Sei stato esaustivo , chiaro e rapidissimo nel rispondere