Stima della misura di Hausdorff di una piccola sfera in una varietà Riemanniana

[Bremen000]

Buondì, avrei bisogno di un aiuto per portare a termine il seguente ragionamento.

Sia $M$ una varietà Riemanniana $n$-dimensionale, liscia, compatta e senza bordo. Il mio obiettivo è ricavare una stima uniforme in $p \in M$ della misura di Hausdorff $n-1$ dimensionale di una sfera di raggio $r$. Cioè quello che vorrei ottenere è

Congettura
Sia $M$ una varietà Riemanniana $n$-dimensionale, liscia, compatta e senza bordo. Allora esistono un $\delta>0$ e una costante $C>0$ tali che
\[ \mathcal{H}^{n-1} (\partial B(p,r)) \le C r^{n-1} \]
per ogni $p \in M$ e per ogni $r \le \delta$.

dimostrazione (incompleta)
Siccome la varietà è compatta allora il raggio di iniettività della varietà è positivo, cioè esiste un $\delta_1>0$ tale che la mappa
\[ T_p M \ni v \mapsto \exp_p(tv) \]
è un diffeomorfismo per ogni $p \in M$ e per ogni $t \in (0,\delta_1)$. Inoltre tale mappa dà luogo a geodetiche minimizzanti e dunque l'immagine della sfera unitaria di $T_p M$ attraverso questa mappa (che chiameremo $f_t$) è esattamente la sfera di $M$ di raggio $t$ centrata in $p$.

Ora, se io riuscissi a stimare uniformemente in $p$ la costante di Lipschitz di $f_t$ con qualcosa dell'ordine di $t$,

allora otterrei la tesi per il noto fatto che
\[ \mathcal{H}^{n-1}(f(S)) \le \text{Lip}(f_t)^{n-1} \mathcal{H}^{n-1}(S) \]
e per il fatto che la misura della sfera unitaria di $T_p M$ non dipende da $p$.

Purtroppo non so che pesci pigliare: io so che (sempre per $t$ sufficientemente piccolo)
\[ d(p,\exp_p(tv)) = t|v| \]
ma non so dire di più. Ho provato a fare qualche conto ma non ne salto fuori

Se prendo $v_1, v_2 \in T_pM$ e considero le geodetiche $\gamma_1$ e $\gamma_2$ che partono da $p$ con velocità iniziali $v_1$ e $v_2$ rispettivamente, sarebbe sufficiente dimostrare che
$$ \frac{d}{dt} d \left(\gamma_1(t), \gamma_2(t)\right) \le |v_2-v_1| $$
per concludere. Ma anche se considero il differenziale della distanza dato da
$$ \frac{d}{dt} d (\gamma_1(t), \gamma_2(t))= \langle \dot{\alpha_t}(d_0), \dot{\gamma_2}(t) \rangle - \langle \dot{\alpha_t}(0), \dot{\gamma_1}(t) \rangle $$
dove $d_0 = d(\gamma_1(t), \gamma_2(t))$ e $\alpha_t$ è la geodetica di velocità unitaria che connette $\gamma_1(t)$ a $\gamma_2(t)$, ottengo solamente
\begin{align*}
\frac{d}{dt} d (\gamma_1(t), \gamma_2(t)) & = \langle \mathcal{P}^{\gamma_2}_{t \to 0}[\dot{\alpha_t}(d_0)], v_2 \rangle - \langle \mathcal{P}^{\gamma_1}_{t \to 0}[\dot{\alpha_t}(0)], v_1 \rangle \\
& = \langle \mathcal{P}^{\gamma_2}_{t \to 0}[\dot{\alpha_t}(d_0)] , v_2 \rangle -\langle \mathcal{P}^{\gamma_2}_{t \to 0}[\dot{\alpha_t}(d_0)], v_1 \rangle + \langle \mathcal{P}^{\gamma_2}_{t \to 0}[\dot{\alpha_t}(d_0)]-\mathcal{P}^{\gamma_1}_{t \to 0}[\dot{\alpha_t}(0)], v_1 \rangle \\
& \le |v_2-v_1| + \langle \mathcal{P}^{\gamma_2}_{t \to 0}[\dot{\alpha_t}(d_0)]-\mathcal{P}^{\gamma_1}_{t \to 0}[\dot{\alpha_t}(0)], v_1 \rangle
\end{align*}
dove \( \mathcal{P}^{\gamma}_{t_0 \to t_1}[v]\) è il trasporto parallelo di $v \in T_{\gamma(t_0)}$ da $\gamma(t_0)$ a $\gamma(t_1)$ lungo $\gamma$.
Mi sembra evidente che il secondo addendo debba andare a $0$ quando $t \to 0^+$ e questo implicherebbe il risultato per $t$ piccolo, ma non riesco a rendere formale questa intuizione.

[Bremen000]

La mia domanda penso possa essere resa più chiara (e breve) così:

Fissiamo $M$ varietà Riemanniana compatta e di conseguenza il suo raggio di iniettività $\delta$. Allora io so che per ogni $p \in M$ esiste una costante $C_p$ tale che
\[ d( \exp_p(v_1), \exp_p(v_2)) \le C_p |v_1-v_2| \]
per ogni $v_1, v_2 \in T_p M$ tali che $\|v_1\| \le \delta/2$, $\|v_2\| \le \delta/2$.

Posso prendere il \( \sup_p C_p \) sperando che non sia infinito? Se sì, come? Mi basterebbe sapere che $C_p$ è una funzione continua di $p$ ma non vedo perché dovrebbe esserlo. Vorrei sfruttare che la mappa esponenziale è differenziabile e che \( \{ v \in TM \mid \|v\| \le \delta/2 \} \) è un sottoinsieme compatto di $TM$. Non so come.