Spettro di un operatore di Hilbert-Schmidt+equazione integrale

[Ire_db]

Salve, mi sono imbattuta nell'operatore di Hilbert-Schmidt avente nucleo integrale$ K(x,y)={ ( (y − π − 1)(1 − x)se 0\leq x\leq y\leq\pi ),( (x− π − 1)(1 − y) se0\leq y\leq x\leq\pi ):}$
Devo calcolarne lo spettro: essendo compatto e autoaggiunto so per il teorema spettrale che $\sigma(T)=\sigma_p(T)\cup\{0\}$, e quindi mi riduco a cercare i soli autovalori. Sviluppando l'equazione agli autovalori $Tf(x)=\lambda f(x)$ ottengo $f''(x)=-\lambda/\pi f(x)$, ma ho difficoltà nell'individuare ed utilizzare le condizioni al bordo per la risoluzione... Mi rendo conto che probabilmente è solo un problema di calcoli, ma mi pare di capire che sia un tipo di operatore abbastanza classico, e quindi voglio avere ben presente come procedere. Grazie!


EDIT: aggiungo qualche dettagli sull'equazione integrale che viene fuori. $Tf=\lambda f$ diventa \[(x-\pi-1)\int_0^x(1-y)f(y)dy+(1-x)\int_x^\pi (y-\pi-1)f(y)dy=\lambda f(x) \]
Derivando due volte ottengo l'equazione scritta sopra, ma come individuo le condizioni al bordo? E soprattutto, come le uso per capire quale $\lambda$ è accettabile?

[Bremen000]

Guarda, io prima ho provato a fare tutti i conti e sono arrivato alle tue stesse conclusioni. Si può ricavare che deve valere

\[ \lambda (f(\pi) -f(0)) = \lambda (f'(\pi)-f'(0)) = \pi \int_0^{\pi} f(y)dy \]

ma non so quanto possa essere utile!

[Ire_db]

Sì, anche io sono arrivata alle stesse conclusioni, ma non riesco a raccapezzarmi per far uscire fuori dei risultati su $\lambda$ eccetera...


EDIT: se uso le condizioni al bordo che hai trovato anche tu escono fuori equazioni indeterminate, sempre vere...

[gugo82]

Il problema mi piace.
Ci penso in giornata e vedo che riesco a fare.

[gugo82]

Torno sul problema come promesso...

1. Problema al contorno:

Esplicitando l'equazione operatoriale $Tf(x)=lambda f(x)$ si ricava l'equazione integrale:
\[
(1-x) \int_x^\pi (y - \pi -1) f(y)\ \text{d} y + (x - \pi -1) \int_0^x (1-y)\ f(y)\ \text{d} y = \lambda\ f(y)\; ,
\]
derivando la quale due volte si ottiene la EDO:
\[
f^{\prime \prime} (x) + \frac{\pi}{\lambda} f(x) = 0
\]
(ho tenuto presente che $\lambda != 0$); per quanto riguarda le condizioni da accoppiare alla EDO, osserviamo che dall'equazione integrale e dall'equazione che si ottiene derivandola membro a membro (passaggio intermedio che abbiamo omesso tutti) discendono le uguaglianze:
\[
\begin{split}
f(0) &= \frac{1}{\lambda} \int_0^\pi (y-\pi - 1)f(y)\ \text{d} y \\
f^\prime (0) &= - \frac{1}{\lambda} \int_0^\pi (y-\pi - 1)f(y)\ \text{d} y\\
f(\pi ) &= - \frac{1}{\lambda} \int_0^\pi (1-y)f(y)\ \text{d} y \\
f^\prime (\pi ) &= \frac{1}{\lambda} \int_0^\pi (1-y)f(y)\ \text{d} y\; ,
\end{split}
\]
da cui si traggono immediatamente le condizioni al bordo di tipo misto:
\[
\left\{ \begin{split} f^\prime (0) + f(0) &= 0\\ f^\prime (\pi) + f(\pi) &= 0 \end{split}\right. \; ;
\]
dunque l'equazione operatoriale equivale al problema:
\[
\begin{cases}
f^{\prime \prime} + \frac{\pi}{\lambda} f(x) = 0 &\text{, in } ]0,\pi[\\
f^\prime (0) + f(0) = 0\\
f^\prime (\pi) + f(\pi) = 0
\end{cases}\; .
\]

2. Risoluzione e studio degli autovalori:

Se non ho sbagliato i calcoli, il problema ha soluzioni non banali solo se
\[
\begin{split}
\frac{\pi}{\lambda} &= -1\\
\sqrt{ \frac{\pi}{\lambda}} &= n\qquad \text{con } n \in \mathbb{N}\; ,
\end{split}
\]
quindi gli autovalori di $T$ sono:
\[
\begin{split}
\lambda_0 &= -\pi \\
\lambda_n &= \frac{\pi}{n^2} \qquad \text{con } n \in \mathbb{N}\; .
\end{split}
\]
Le autofunzioni associate a $lambda_n$ con $n in NN$ sono proporzionali ad:
\[
f_n(x) := \sin n x - n \cos nx\; ,
\]
dunque ogni autovalore $lambda_n$ è semplice (ha un autospazio associato monodimensionale) e, studiando il segno delle autofunzioni, si vede che nessuno di essi è principale (ricordo che, usualmente, si chiamano autovalori principali quelli che hanno associate autofunzioni che non cambiano segno nell'intervallo di definizione).
Analogamente, le autofunzioni associate a $lambda_0=-\pi$ sono proporzionali ad:
\[
f_0(x) := e^{-x}\; ,
\]
dunque $lambda_0$ è semplice e principale.

[Bremen000]

Madonna, stessi conti, guardo il problema misto che ho sul foglio e non lo vedo. Bravo gugo!

[gugo82]

Grazie.
Ci ho messo un po' pure io a trovare le condizioni... Era da un sette/otto anni che non facevo un esercizio del genere.