Spettro di un operatore
Ciao, ho dubbi sulla risoluzione di questo esercizio.
$X=C([0,1])$ si consideri l'operatore $Tf(x)= \int_0^1 sin(x-t)f(t)dt$
Trovare l'immagine di T, trovare il suo spettro e descrivere i corrispondenti autospazi.
Vi ringrazio in anticipo per l'aiuto!
$X=C([0,1])$ si consideri l'operatore $Tf(x)= \int_0^1 sin(x-t)f(t)dt$
Trovare l'immagine di T, trovare il suo spettro e descrivere i corrispondenti autospazi.
Vi ringrazio in anticipo per l'aiuto!
Risposte
Da regolamento dovresti esporre qualche idea, qualche tentativo che hai fatto, per lo meno commentare un po' l'esercizio. Grazie per la collaborazione.
Tanto per cominciare, dato che della f so solo che è continua, non so come caratterizzare l'immagine
Prova ad applicare la formula di sottrazione del seno. 
Credo che più che queste formule, si dovrebbe usare il prodotto di convoluzione, tanto il seno è una funzione L^1_{loc} e quindi il prodotto di convoluzione tra seno ed una funzione continua a supporto compatto calcolata su [0,1] mi dovrebbe dare una funzione C[0,1]. No?
È giusto che l'immagine è costituita dalle funzioni continue in [0,1] che siano periodiche?
Però non so calcolare lo spettro 
"gugo82":
Prova ad applicare la formula di sottrazione del seno.
E tieni presente che non amo ripetermi...
Non era la mia questione, ma sono curioso.
$\int_0^1 sin(x-t)f(t)dt=\int_0^1 sin(x)cos(t)f(t)dt-\int_0^1 cos(x)sin(t)f(t)dt$
$=sin(x)\int_0^1 cos(t)f(t)dt-cos(x)\int_0^1 sin(t)f(t)dt$
e poi?
Il mio problema è questo $1$, sarebbe più facile con $2\pi$.
$\int_0^1 sin(x-t)f(t)dt=\int_0^1 sin(x)cos(t)f(t)dt-\int_0^1 cos(x)sin(t)f(t)dt$
$=sin(x)\int_0^1 cos(t)f(t)dt-cos(x)\int_0^1 sin(t)f(t)dt$
e poi?
Il mio problema è questo $1$, sarebbe più facile con $2\pi$.
"wnvl":
$\int_0^1 sin(x-t)f(t)dt=\int_0^1 sin(x)cos(t)f(t)dt-\int_0^1 cos(x)sin(t)f(t)dt$
$=sin(x)\int_0^1 cos(t)f(t)dt-cos(x)\int_0^1 sin(t)f(t)dt$
e poi?
Da questa uguaglianza segue che l'operatore \(T\) è a rango finito e che la sua immagine è \(\operatorname{span} \{\cos x, \sin x\}\subseteq C([0,1])\); conseguentemente \(T\) è compatto e le sue autofunzioni sono necessariamente nella forma:
\[
u_{A,B}(x) =A\ \cos x+B\ \sin x\; .
\]
Si ha:
\[
Tu_{A,B}(x) = -\left( \frac{\sin^2 1}{2}\ A + \frac{2-\sin 2}{4}\ B\right) \cos x + \left( \frac{2+\sin 2}{4}\ A + \frac{\sin^2 1}{2}\ B\right) \sin x
\]
(se non ho commesso errori di calcolo), dunque è \(Tu_{A,B}=\lambda\ u_{A,B}\) se e solo se:
\[
-\left( \frac{\sin^2 1}{2}\ A + \frac{2-\sin 2}{4}\ B\right) \cos x + \left( \frac{2+\sin 2}{4}\ A + \frac{\sin^2 1}{2}\ B\right) \sin x = \lambda\ (A\ \cos x+B\ \sin x)\; ,
\]
il che equivale a dire che il sistema:
\[
\begin{cases}
\frac{\sin^2 1}{2}\ A + \frac{2-\sin 2}{4}\ B = -\lambda\ A\\
\frac{2+\sin 2}{4}\ A + \frac{\sin^2 1}{2}\ B = \lambda\ B
\end{cases}
\]
ammette infinite soluzioni \(A,B\); ciò è possibile solo se \(\lambda\) è scelto in modo che il determinante dei coefficienti sia nullo, i.e. solo se:
\[
\begin{vmatrix}
\frac{\sin^2 1}{2} +\lambda & \frac{2-\sin 2}{4} \\
\frac{2+\sin 2}{4} & \frac{\sin^2 1}{2} -\lambda
\end{vmatrix} =0\; .
\]
Da qui si ricavano gli autovalori; gli autovettori si determinano di conseguenza.
Grazie per la risposta!
Ciao è la prima volta che scrivo; vorrei porre una domanda:come si calcola lo spettro di un operatore compatto? Grazie mille.
In genere, nei casi elementari, gli autovalori si trovano applicando la definizione, i.e. trovando le soluzioni non banali dell'equazione \(Tx=\lambda x\). In casi meno banali, essi si trovano usando caratterizzazioni variazionali (tipo inf/max, come nella teoria di Lusternik-Schnirelmann), oppure con altri metodi... Dipende un po' dalle proprietà dell'operatore che hai davanti.
Prova a postare un esempio e qualche contariello, così vediamo dove sorgono difficoltà
Prova a postare un esempio e qualche contariello, così vediamo dove sorgono difficoltà
Si verifichi che l'operatore T : L2([0; 1])-> L2([0; 1]) definito da:
(Tf) =∫(x-y)f(x)dx(l'integrale è definito tra 0 e 1) è continuo, compatto e se ne calcoli lo spettro. Scusa ma non so scrivere sul sito. Ma devo calcolare la derivata prima e seconda dell'operatore? E risolvere un'equazione differenziale? Grazie veramente.
(Tf) =∫(x-y)f(x)dx(l'integrale è definito tra 0 e 1) è continuo, compatto e se ne calcoli lo spettro. Scusa ma non so scrivere sul sito. Ma devo calcolare la derivata prima e seconda dell'operatore? E risolvere un'equazione differenziale? Grazie veramente.
Scrivere le formule è piuttosto semplice e, per imparare, basta leggersi le quattro nozioni base riportate al link nel riquadrorosa in alto.
L'operatore è \(T:L^2(0,1) \ni f \to Tf\in L^2 (0,1)\) definito ponendo:
\[
Tf(x) := \int_0^1 (y-x)\ f(y)\ \text{d} y
\]
(ho scambiato i ruoli di \(x\) ed \(y\) solo per motivi "estetici").
Cosa puoi innanzitutto dire su questo operatore? Per caso è lineare, o continuo?
Poi, come agisce l'operatore? Com'è fatto il rango[nota]In teoria degli operatori, il termine "rango" denota l'immagine di un operatore; è una traduzione non proprio felice dell'inglese range.[/nota] di \(T\)? Insomma non è che, per caso, manda ogni funzione di \(L^2\) in un sottospazio proprio di \(L^2\)?
L'operatore è \(T:L^2(0,1) \ni f \to Tf\in L^2 (0,1)\) definito ponendo:
\[
Tf(x) := \int_0^1 (y-x)\ f(y)\ \text{d} y
\]
(ho scambiato i ruoli di \(x\) ed \(y\) solo per motivi "estetici").
Cosa puoi innanzitutto dire su questo operatore? Per caso è lineare, o continuo?
Poi, come agisce l'operatore? Com'è fatto il rango[nota]In teoria degli operatori, il termine "rango" denota l'immagine di un operatore; è una traduzione non proprio felice dell'inglese range.[/nota] di \(T\)? Insomma non è che, per caso, manda ogni funzione di \(L^2\) in un sottospazio proprio di \(L^2\)?
Sono riuscita a dimostrare che è limitato mediante la formula di cauchy-schwarz( che posso usare perchè siamo in L2). Si agisce proprio in questo modo...
Per la limitatezza ok.
Per il resto che mi dici?
Linearità? Com'è fatto il rango?
Per il resto che mi dici?
Linearità? Com'è fatto il rango?
L'operatore è lineare mentre per quanto riguarda l'immagine, essa è C1([0; 1]).
L'immagine è mooolto più piccola di \(C^1\), anzi è mooolto più piccola anche di \(C^\infty\)...
Per vederlo devi sporcarti le manine coi conti.
Infatti, per la linearità dell'integrale, hai:
\[
\begin{split}
Tf(x) &= \int_0^1 (y-x)\ f(y)\ \text{d} y \\
&= \left( \int_0^1 y\ f(y)\ \text{d} y\right) - \left( \int_0^1 f(y)\ \text{d} y \right)\ x
\end{split}
\]
sicché \(Tf(x)\) è un polinomio al più di primo grado in \(x\), cioé del tipo \(a_0+a_1x\); e, precisamente, \(Tf\) è il polinomio con termine noto \(a_0:=\int_0^1 y\ f(y)\ \text{d} y\) e parametro direttore \(a_1=-\int_0^1 f(y)\ \text{d} y\).
Quindi l'immagine di \(T\) coincide con \(\operatorname{span} \{ 1,x\}\) (in cui \(\operatorname{span} X\) denota il sottospazio generato da \(X\)).
Per vederlo devi sporcarti le manine coi conti.
Infatti, per la linearità dell'integrale, hai:
\[
\begin{split}
Tf(x) &= \int_0^1 (y-x)\ f(y)\ \text{d} y \\
&= \left( \int_0^1 y\ f(y)\ \text{d} y\right) - \left( \int_0^1 f(y)\ \text{d} y \right)\ x
\end{split}
\]
sicché \(Tf(x)\) è un polinomio al più di primo grado in \(x\), cioé del tipo \(a_0+a_1x\); e, precisamente, \(Tf\) è il polinomio con termine noto \(a_0:=\int_0^1 y\ f(y)\ \text{d} y\) e parametro direttore \(a_1=-\int_0^1 f(y)\ \text{d} y\).
Quindi l'immagine di \(T\) coincide con \(\operatorname{span} \{ 1,x\}\) (in cui \(\operatorname{span} X\) denota il sottospazio generato da \(X\)).
Scusami tanto ma non reisco proprio a capire come fare...
Come fare cosa?
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