Spazio normato dei numeri razionali
Salve a tutti.
Solitamente sui libri ho trovato che dato uno spazio vettoriale $X$ su campo $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$, se è possibile definire una norma (con le note proprietà) allora si parla di spazio normato.
Il mio dubbio è perchè il campo $\mathbb{K}$ non può essere un altro? Ad esempio $\mathbb{Q}$.
Altra curiosità: Se prendo $\mathbb{Q}$ come spazio vettoriale su sè stesso potrei prendere come norma il valore assoluto su $\mathbb{R}$ ristretto a $\mathbb{Q}$ e costruire uno spazio normato.
A questo punto però, visto che anche $\mathbb{R}$ è un $\mathbb{Q}$-spazio vettoriale (di dimensione infinita non numerabile su $\mathbb{Q}$), in particolare varrebbe che $\mathbb{Q}$ è un sottospazio vettoriale di $\mathbb{R}$, dunque un sottospazio normato. Giusto? Sarebbe carino sapere se $\mathbb{R}$ come $\mathbb{Q}$-spazio vettoriale sarebbe di Banach o avesse delle proprietà interessanti. Casomai non stessi farneticando (in tal caso mi scuso) ci sarebbe in rete del materiale a riguardo?
Grazie
Solitamente sui libri ho trovato che dato uno spazio vettoriale $X$ su campo $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$, se è possibile definire una norma (con le note proprietà) allora si parla di spazio normato.
Il mio dubbio è perchè il campo $\mathbb{K}$ non può essere un altro? Ad esempio $\mathbb{Q}$.
Altra curiosità: Se prendo $\mathbb{Q}$ come spazio vettoriale su sè stesso potrei prendere come norma il valore assoluto su $\mathbb{R}$ ristretto a $\mathbb{Q}$ e costruire uno spazio normato.
A questo punto però, visto che anche $\mathbb{R}$ è un $\mathbb{Q}$-spazio vettoriale (di dimensione infinita non numerabile su $\mathbb{Q}$), in particolare varrebbe che $\mathbb{Q}$ è un sottospazio vettoriale di $\mathbb{R}$, dunque un sottospazio normato. Giusto? Sarebbe carino sapere se $\mathbb{R}$ come $\mathbb{Q}$-spazio vettoriale sarebbe di Banach o avesse delle proprietà interessanti. Casomai non stessi farneticando (in tal caso mi scuso) ci sarebbe in rete del materiale a riguardo?
Grazie
Risposte
Una cosa del genere si può anche considerare, il problema è che sorgono un sacco di problemi dal fatto che $QQ$ non è completo, del tipo l'uso di sup/inf di insiemi come ad esempio la distanza tra insiemi, le norme dei funzionali o come definire cos'è uno spazio di Banach in modo soddisfacente ecc...
Più che altro è per questo che non si fa.
Più che altro è per questo che non si fa.
@Isaac: Citando il tuo post, il punto in cui farnetichi è quando ti chiedi se un \(\mathbb Q\)-spazio vettoriale possa essere di Banach. Questa è una contraddizione in termini.
Il fatto è che se uno spazio vettoriale è di Banach, tutti i suoi sottospazi chiusi sono di Banach; del resto, $QQ$ è un sottospazio chiuso di ogni $QQ$-spazio vettoriale di dimensione \(\ge 1\), il quale non può essere di Banach rispetto alla struttura di "spazio normato" data dal valore assoluto. Quindi, l'unico $QQ$-spazio di Banach rispetto a questa struttura è lo spazio nullo, gran poco interessante!
Del resto la domanda diventa interessante se invece del valore assoluto su $QQ$ si prende la norma $p$-adica (un famoso teorema di Ostrowski afferma che non ci sono altre strutture di spazio metrico su $QQ$, quindi questa scelta è sostanzialmente l'unica altra possibile!). In quel caso uno può considerare il completamento metrico di $QQ$ rispetto alla norma $p$-adica, il quale diventa uno spazio vettoriale e in effetti uno spazio di Banach. Questo genere di oggetti -e le varie controparti di spazi di funzioni che si incontrano in analisi funzionale- sono studiati in analisi p-adica e nel campo delle equazioni differenziali p-adiche.
Del resto la domanda diventa interessante se invece del valore assoluto su $QQ$ si prende la norma $p$-adica (un famoso teorema di Ostrowski afferma che non ci sono altre strutture di spazio metrico su $QQ$, quindi questa scelta è sostanzialmente l'unica altra possibile!). In quel caso uno può considerare il completamento metrico di $QQ$ rispetto alla norma $p$-adica, il quale diventa uno spazio vettoriale e in effetti uno spazio di Banach. Questo genere di oggetti -e le varie controparti di spazi di funzioni che si incontrano in analisi funzionale- sono studiati in analisi p-adica e nel campo delle equazioni differenziali p-adiche.
E perchè non puoi fare lo stesso ragionamento per concludere che l'unico spazio di Banach è quello nullo?
"megas_archon":Non capisco, per esempio $QQ$ non è chiuso in $RR$.
$QQ$ è un sottospazio chiuso di ogni $QQ$-spazio vettoriale di dimensione \(\ge 1\)
Di dimensione finita, pensavo di averlo scritto
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo