Spazio delle funzioni lipschitziane e norma

[Lebesgue]

Ciao a tutti, stavo cercando di risolvere il seguente esercizio:

Sia $X=Lip([-1,1])$ lo spazio delle funzioni $f:[-1,1]\to\mathbb(R)$ lipschitziane.
Si consideri su $X$ la seguente norma: data $f\in X$, $||f||_X=|f(0)|+ \mbox{sup} \{\frac{|f(x)-f(y)|}{|x-y|}; x,y\in[-1,1], x\ne y\}. $

(che praticamente è la funzione valutata in $0$ + la costante $L$ di lipschitz della funzione $f$)

1) Devo dimostrare che esiste una costante $C>0$ tale per cui

$||f||_\infty \le C\cdot ||f||_X$ per ogni $f\in X$;

dove $||f||_\infty = \mbox{max} \{|f(x)|; x\in[-1,1]\}$. (è un massimo poiché $f$ è lipschitz, quindi continua, su un compatto).

2) Devo dire se esiste una costante $D>0$ tale per cui vale la disuguaglianza inversa, ovvero tale che

$||f||_X\le D\cdot ||f||_\infty$ per ogni $f\in X$.


Per quanto riguarda il punto 2), direi che la cosa è falsa, in quanto posso prendere funzioni continue che hanno una pendenza arbitrariamente alta (ma comunque minore di infinito) ma con massimo limitato.
(ad esempio una serie di spezzate molto pendenti -quasi verticali- ma con massimo =1)

Invece il punto 1) mi torna che sia vero, ad esempio ragionando con funzioni derivabili, per cui la costante di Lipschitz è il sup della derivata, però non riesco a formalizzare la cosa

[dissonance]

Il punto 2 va bene.

Per il punto 1, è una buona idea provare la disuguaglianza con \(f\) di classe \(C^1\). In questo modo hai a disposizione il teorema fondamentale del calcolo integrale. Poi concludi per densità. Puoi usare il fatto che per ogni \(f\in X\) esiste una successione \(f_n\in C^1\) tale che \(\lVert f_n-f\rVert_X\to 0\).

Quest'ultimo fatto è vero, e a mio avviso è del tutto "safe" assumerlo senza dimostrazione.

[dissonance]

Se però proprio non ti va di fare un discorso per densità si può anche dimostrare direttamente.

[Lebesgue]

"dissonance":Il punto 2 va bene.

Per il punto 1, è una buona idea provare la disuguaglianza con \(f\) di classe \(C^1\). In questo modo hai a disposizione il teorema fondamentale del calcolo integrale. Poi concludi per densità. Puoi usare il fatto che per ogni \(f\in X\) esiste una successione \(f_n\in C^1\) tale che \(\lVert f_n-f\rVert_X\to 0\).

Quest'ultimo fatto è vero, e a mio avviso è del tutto "safe" assumerlo senza dimostrazione.

Avevo pensato anche io di fare così, tuttavia questo esercizio è stato trovato all'esame da una ragazza cui faccio ripetizioni, e ti dico solo che nello stesso esercizio (analisi 2 della facoltà di matematica) veniva data la definizione di funzione lipschitziana, perché non l'avevano mai vista.
Quindi mi stavo chiedendo come dimostrare la cosa senza usare il fatto che ogni funzione continua è approssimabile con una funzione liscia (o differenziabile, dato che basta e avanza)

[dissonance]

Si ma infatti è vero che è più immediato. Si tratta di fare la stessa cosa ma nel discreto, senza usare il calcolo integrale. Per prima cosa si può assumere che \(f(0)=0\) senza perdità di generalità. Sia \(L=\lVert f\rVert_X\). Basta dimostrare che
\[
\lvert f(\frac{m}{2^n})\rvert \le CL, \]
per ogni \(n\ge 0\) e \(m\in\{0, 1, \ldots 2^n\}\). Siamo d'accordo? Quelli sono i razionali diadici e sono un sottoinsieme denso di \([0,1]\).

OK, ora che succede, sia \(n\) fissato. Abbiamo che
\[
\lvert f(\frac1{2^n})\rvert \le L \frac{1}{2^n}\le L.\]
Ripetendo questo discorso,
\[
\lvert f(\frac2{2^n})-f(\frac1{2^n})\rvert \le L \frac{1}{2^n}.\]
Questo implica
\[
\lvert f(\frac{2}{2^n})\rvert \le L \frac{2}{2^n}\le L.\]
Etc etc...

Secondo me alla fine viene fuori che la costante \(C=1\).

[dissonance]

Ah il mio post precedente è su \([0, 1]\) anziché \([-1, 1]\).

[Lebesgue]

"dissonance":Ah il mio post precedente è su \([0, 1]\) anziché \([-1, 1]\).

Tranquillo, basta traslare tutto e non cambia nulla
Grazie comunque per la pazienza e le spiegazioni!

[dissonance]

Niente, figurati, ma controlla bene, non ti fidare troppo di questi miei post.

Comunque bisogna traslare e poi riscalare, oppure rifare tutto sul nuovo intervallo. La costante su \([-1, 1]\) dovrebbe essere \(2\).

[regim]

Chiedo venia al qui moderatore per eventuali clamorose sviste. Se consideramo la norma $|| f ||_X$ e consideriamo i rapporti incrementali; tra i possibili valori, di cui poi a noi interesserà l'estremo superiore, vi sarà certamente quello in cui l'intervallo avrà come estremi il punto in cui $|f|$ assume il massimo in $x_m \in[-1,1]$ e poi $y=0$, il rapporto incrementale avrà come denominatore, nel peggiore dei casi, $|x_m-y|=1$ ponendo $C=1$ e $$1\leq C_1 = \frac{C}{|x_m-y|}$$ otterrò: $$ M= \lVert f\lVert_\infty \leq C \cdot \lvert f(0)\lvert + C_1 \cdot [M-f(0)] \leq C\cdot\rVert f \rVert_X.$$ $M$ è chiaramente il massimo della funzione continua nell'intervallo $[-1,1]$. Se il massimo cade proprio in $0$ allora, essendo $|f(0)|=M$ con $C=1$ avremo certamente $$||f||_\infty \leq C\cdot |f(0)|

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[marco2132k]

Ho una domanda (credo stupida) che segno come OT, perché è appunto una mia domanda.

[ot]Secondo voi si possono usare i teoremi di Rademacher? La \( f \) è differenziabile q.o., e non è che questo permette di concludere che
\[
\operatorname{Lip}(f) = \sup\{\lvert f^\prime(a)\rvert : \text{$ f $ derivabile in $ a $}\}\text{?}
\][/ot]

[Lebesgue]

Per quanto riguarda il punto 2), ho pensato di considerare la successione di funzioni $f_n(x)=x^n$.
Queste sono tutte funzioni differenziabili su $[-1,1]$ con $f_n(0)=0$, $\max |f_n| =1 $ e costante di Lipschitz $L_n=n$.
Per cui si vede come non è possibile che esista $D>0$ tale che $||f_n||_X$ $\le D\cdot ||f_n||_\infty$ per ogni $n$, in quanto la costante di Lipschitz cresce all'infinito, mentre il massimo rimane fisso 1

[dissonance]

@regim: Il moderatore non è assolutamente da considerarsi come una autorità dal punto di vista scientifico, ma solo come una persona con dei permessi aggiuntivi, per ragioni di gestione del forum. E di sviste anche il moderatore ne ha prese parecchie e parecchio sonore negli anni.

Quanto alla tua soluzione, faccio un po' fatica a seguirla. Stai suggerendo che la costante sia maggiore di \(1\)? Secondo il mio ragionamento, su \([-1, 1]\) la costante \(C\) dovrebbe essere \(1\), ma può darsi che io mi sbagli. Il problema con quanto scrivi è che sembra suggerire una dipendenza di \(C\) da \(f\). Questo non può essere. La costante \(C\) deve essere indipendente da \(f\).

@marco: Rademacher non serve a nulla qui, per un motivo molto semplice. Quando una funzione è \(C^1\), o come minimo assolutamente continua, si può scrivere
\[\tag{1}
f(x)=f(0)+\int_0^x f'(y)\, dy.\]
E' questo, e solo questo, che mette in relazione la costante di Lipschitz con \(f'\). Rademacher dice che \(f\) è differenziabile quasi ovunque, quindi \(f'\) esiste, ma NON dice che si può scrivere (1). Io non sono un esperto di queste robe, bisognerebbe guardare sull'Evans e Gariepy o su un altro libro simile, ma sono quasi sicuro che esista una funzione Lipschitziana tale che (1) non vale. Forse la famosa "scala del diavolo" è già un esempio valido.

[marco2132k]

@dissonance Okay, non lo sapevo, grazie (non credo che controllerò se con la scala del diavolo la \( (1) \) fallisce).

[regim]

@dissonance ... intendevo proprio C=1. Non sto usando la tastiera di un PC o di un portatile e quindi faccio fatica a scrivere, e nel tentativo di sintetizzare al massimo è inevitabile una perdita di chiarezza nell'esposizione e/o errori grossolani.
L'intervallo di cui parlo è $|x_m -0|$.
$M=|f(x_m)|$, e dove c'è scritto $f(0)$ bisogna sostituire $|f(0)|$.
@lebesgue .... l'idea di funzioni $x^n$ mi pare ottima, anche quella di funzioni triangolari espressa nel primo post era buona.

[dissonance]

@marco: Mi sono sbagliato. Avevi ragione tu. E' vero che con la scala del diavolo la formula (1) del mio post precedente fallisce. Ma quella funzione non è Lipschitziana. Ogni funzione Lipschitziana è assolutamente continua, quindi in particolare è derivabile a meno di un insieme di misura nulla, e la formula (1) è valida. Quindi hai ragione, si può usare questa proprietà per provare la disuguaglianza richiesta.

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@regim: Ho capito. Hai ragione. Ottima soluzione. La reinterpreto io qui, visto che sono su una tastiera di computer. Sia \(L\) la costante di Lipschitz e \(M=\lvert f(x_m)\rvert\) il massimo di \(\lvert f\rvert\) su \([-1, 1]\). Allora
\[
\lvert M-\lvert f(0)\rvert\rvert \le \lvert f(x_m)-f(0)\rvert\le L\lvert x_m\rvert\le L.\]
Dal fatto che
\[
\lvert M-\lvert f(0)\rvert\rvert \le L\]
discende subito che
\[
M\le \lvert f(0)\rvert + L, \]
ovvero \(\lVert f\rVert_\infty\le \lVert f\rVert_X\), come si voleva dimostrare.

Questa soluzione di regim è sicuramente la più semplice possibile, non coinvolge nessun parolone, né insiemi densi né derivate quasi ovunque, niente di tutto questo. Inoltre, si vede subito che, se l'intervallo diviene \([-a, a]\) invece di \([-1, 1]\), allora la dimostrazione precedente funziona invariata ma \(\lvert x_m\rvert\le a\), e quindi la conclusione è
\[
M \le \lvert f(0)\rvert + aL.\]

[marco2132k]

@dissonance Ma la dimostrazione che una funzione lipschitziana e quindi differenziabile q.o. ha per costante di Lipschitz proprio l'estremo superiore dei \( \lVert \mathrm df (z) \rVert \) calcolati nei punti di differenziabilità è roba da Evans--Gariepy o è elementare? (È solo una curiosità, se ti porta via tempo ignorami)

[dissonance]

@marco: L'ipotesi corretta è che \(f\colon [-1, 1]\to \mathbb R\) sia assolutamente continua. Questo è equivalente alla validità della formula
\[\tag{1}
f(x)=f(0)+\int_0^x f'(t)\,dt, \]
dove \(f'\) è definita a meno di un insieme di misura nulla, ed è assolutamente integrabile su \([-1, 1]\). Tutte le funzioni Lipschitziane sono assolutamente continue.

Da (1) discende che
\[
\frac{\lvert f(x)-f(y)\rvert}{\lvert x-y\rvert} =\left\lvert \frac{1}{x-y}\int_x^y f'(t)\, dt\right\rvert \le \lVert f'\rVert_\infty.\]
(Nota: La notazione \(\lVert \cdot \rVert_\infty\) è più comune di quella che hai usato tu per indicare il sup a meno di insiemi di misura nulla. Ti confesso che ad una prima lettura del tuo post precedente non ero riuscito a capire cosa intendessi).

Da qua si vede subito che \(L=\sup_{x\ne y} \frac{ \lvert f(x)-f(y)\rvert}{\lvert x-y\rvert}\le \lVert f'\rVert_\infty\). Dimostrare che \(L=\lVert f'\rVert_\infty\) è facile ma ci vuole il teorema di derivazione di Lebesgue.

[marco2132k]

Okk grazie mille, prima o poi leggo più approfonditamente, ma più o meno dovrei aver capito. (Se è vero che che l'ultima parte ha a che fare con tutta la storia sulle derivate di misure, dovrei vedere qualcosa in merito l'anno che viene).

[dissonance]

In fondo è solo questione di teorema fondamentale del calcolo integrale. Questa qua non è altro che la familiare dimostrazione che la costante di Lipschitz di una funzione \(C^1\) è il sup del modulo della derivata. Tutto il resto sono tecnicismi, importanti, ma sempre tecnicismi sono.

In altre parole, nella vita reale non ti stai a preoccupare se la derivata è definita quasi ovunque. Tu fai i conti come se tutto fosse \(C^\infty\), e poi se arrivi da qualche parte ti chiedi se ciò che hai fatto ha un senso e come giustificarlo. Ma questo è uno step successivo. La cosa fondamentale resta sempre la formula del calcolo integrale.

[otta96]

Mi sembra che vi siate complicati un po' tutti la vita: $|f(x)|<=|f(0)|+Lx<=||f||_X=>||f||_\infty<=||f||_X$.