Spazi topologici, misurabili e integrale
Avrei un paio di domande sull'integrale di Lebesgue, che sono le seguenti
1) È possibile definire l'integrale di Lebesgue senza la nozione di misura ma solo con la nozione di topologia?
2) Immagino che se si prende la topologia euclidea dà origine alla misura di Lebesgue e quindi che \( (\mathbb{R},\tau_E) \) dà origine al \( (\mathbb{R},F,\mu) \) dove \( \mu \) è la misura di Lebesgue, prendendo come sigma algebra \(F\) la più piccola sigma algebra che contiene la topologia euclidea. È vero?
3) Si può quindi dire che dato uno spazio topologico \( (X,\tau) \) mi porta ad uno spazio di misura \( (X,F,\mu) \)? Oppure mi porta solo ad una sigma algebra \(F\) su \(X\) mentre per associargli univocamente la funzione di misura \(\mu\) ho bisogno che lo spazio topologico metrizzabile?
4) È vero il contrario? Data uno spazio di misura \((X,F, \mu) \) si può sempre associargli uno spazio topologico \((X, \tau) \)?
La definizione diciamo "classica" dell'integrale di Lebesgue parte da uno spazio di misura. Ovvero \( (X,F,\mu) \), dove \(F\) è una \(\sigma\)-algebra su \( X \) e \( \mu \) è una funzione di misura.
Si parte dalle funzioni semplici, i.e. \( \phi : \mathbb{R} \to \mathbb{R}_+ \) è semplice se esistono distinti \( a_1,\ldots, a_n \geq 0 \) e
\[ A_i = \{ x \in \mathbb{R} : \phi(x) = a_i \} \]
dunque
\[ \phi(x) = \sum_{i=1}^{n} a_i \mathbf{1}_{A_i}(x) \]
Integrale funzioni semplici
E per definizione abbiamo che se \( \phi\) è misurabile, i.e. tutti gli \(A_i \in F\), l'integrale di \( \phi \) è
\[ \int \phi d\mu = \sum_{i=1}^{n} a_i \mu(A_i) \]
Integrale funzione non negativa
Se \( f \) è misurabile, i.e. \( E_{\alpha} = \{ x \in \mathbb{R} : f(x) > \alpha \} \) è misurabile per ogni \( \alpha \) allora per definizione abbiamo
\[ \int f d\mu = \sup \{ \int \phi : 0 \leq \phi \leq f, \phi \text{ misurabile e semplice} \} \]
se \(E \subset X \) è misurabile e \(f \geq 0\) è misurabile allora
\[ \int_{E} f d \mu = \int f \mathbf{1}_{E} d \mu \]
Integrale in generale
Se \( f^+ = \max \{ f, 0 \} \) e \( f^{-} = \max\{ - f, 0 \} \) allora \( f= f^{+} - f^{-} \) e \( \left| f \right| = f^{+} + f^{-} \) e abbiamo che se \(f \) è misurabile allora diciamo che \(f\) è integrabile se
\[ \int \left| f \right| d \mu < \infty \]
e in questo caso definiamo l'integrale come
\[ \int f d \mu = \int f^{+} d \mu - \int f^{-} d \mu \]
Inoltre se \(E \subset X \), se \(E\) e \(f\) sono misurabili allora
\[ \int_E f d\mu = \int f \mathbf{1}_E d\mu \]
Bene! Fin qui tutto chiaro. Per definire la nozione di integrale siamo partiti dalla nozione di misura e di una sigma algebra. Ovvero abbiamo una sigma algebra su \(X\) e una funzione di misura sulla sigma algebra.
Recentemente ho visto questa definizione di integrale su \( \mathbb{R}^n \).
Diciamo che \(f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \cup \{ \infty \} \) è semi-continua inferiormente in \(x_0 \) se per ogni \(c \in \mathbb{R} \) tale che \( f(x_0) > 0 \) esiste un intorno \(U\) di \(x_0 \) tale che \(f(x) > c \) per ogni \(x \in U \). o equivalentemente
\[ \lim \inf_{x \to x_0} f(x) \geq f(x_0) \]
Similmente una funzione semi-continua superiormente lo è se
\[ \lim \sup_{x \to x_0} f(x) \leq f(x_0) \]
Definisce gli spazi \( S^{\uparrow} \) e \( S^{\downarrow} \) così
Siano \(f_k \in C_{c}(\mathbb{R}^n) \), \(k \in \mathbb{N} \), \(f_k \leq f_{k+1} \), dove \(C_c \) rappresenta le funzioni continue a supporto compatto.
Per ogni \( x \in \mathbb{R}^n \) possiamo definire
\[ f(x) := \lim_{k \to \infty} f_k(x) \in \mathbb{R} \cup \{ \infty \} \]
e abbiamo che \( f_k \uparrow f \). \(S^{\uparrow} \) è dunque l'insieme di tutte quelle funzioni ottenute come limite crescente di funzioni continue a supporto compatto.
In modo simile \( S^{\downarrow} \) è l'insieme di tutte quelle funzioni ottenute come limite decrescente di funzioni continue a supporto compatto. E poi nota che \( f \in S^{\uparrow} \) se e solo se \(f \) è semi-continua inferiormente. Immagino quindi (anche se non lo esplicita) che \( f \in S^{\downarrow} \) se e solo se \(f \) è semi-continua superiormente.
Integrale per funzioni a supporto compatto
Per ogni funzione \(f\) continua a supporto compatto esiste una pavimentazione \(R\) compatta che contiene il supporto e definisce allora
\[ \int_{\mathbb{R}^n} f(x)dx= \int_R f(x)dx \]
L'integrale non dipende dalla scelta \(R\).
Integrale su \( S^{\uparrow} \) e \( S^{\downarrow} \)
Se \(f_k \in C_{c}(\mathbb{R}^n) \) e \(f_k \uparrow f \in S^{\uparrow} \) allora
\[ \int_{\mathbb{R}^n} f(x) dx := \lim_{k \to \infty} \int_{R^n} f_k(x) dx \]
L'integrale non dipende dalla scelta di \(f_k \uparrow f \). In maniera analoga definisce l'integrale per \(f \in S^{\downarrow} \).
Integrale per funzioni qualunque
Sia \( f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \cup \{ \pm \infty \} \). Definisce quindi
\[ I_{inf}(f)= \inf \{ \int_{\mathbb{R}^n} \phi(x) dx , \phi \in S^{\uparrow}, \phi \geq f \} \]
\[ I_{sup}(f)= \sup \{ \int_{\mathbb{R}^n} \phi(x) dx , \phi \in S^{\downarrow}, \phi \leq f \} \]
una funzione è detta Lebesgue integrabile se
\[ - \infty < I_{\sup}(f) = I_{\inf}(f) < \infty \]
Presumo quindi che questa costruzione necessiti solamente di una topologia su uno spazio \(X\) e quindi è generalizzabile ad uno spazio \( (X,\tau) \), cioè a quelle funzioni \( f: X \to \mathbb{R} \cup \{ \pm \infty \} \).
1) È possibile definire l'integrale di Lebesgue senza la nozione di misura ma solo con la nozione di topologia?
2) Immagino che se si prende la topologia euclidea dà origine alla misura di Lebesgue e quindi che \( (\mathbb{R},\tau_E) \) dà origine al \( (\mathbb{R},F,\mu) \) dove \( \mu \) è la misura di Lebesgue, prendendo come sigma algebra \(F\) la più piccola sigma algebra che contiene la topologia euclidea. È vero?
3) Si può quindi dire che dato uno spazio topologico \( (X,\tau) \) mi porta ad uno spazio di misura \( (X,F,\mu) \)? Oppure mi porta solo ad una sigma algebra \(F\) su \(X\) mentre per associargli univocamente la funzione di misura \(\mu\) ho bisogno che lo spazio topologico metrizzabile?
4) È vero il contrario? Data uno spazio di misura \((X,F, \mu) \) si può sempre associargli uno spazio topologico \((X, \tau) \)?
La definizione diciamo "classica" dell'integrale di Lebesgue parte da uno spazio di misura. Ovvero \( (X,F,\mu) \), dove \(F\) è una \(\sigma\)-algebra su \( X \) e \( \mu \) è una funzione di misura.
Si parte dalle funzioni semplici, i.e. \( \phi : \mathbb{R} \to \mathbb{R}_+ \) è semplice se esistono distinti \( a_1,\ldots, a_n \geq 0 \) e
\[ A_i = \{ x \in \mathbb{R} : \phi(x) = a_i \} \]
dunque
\[ \phi(x) = \sum_{i=1}^{n} a_i \mathbf{1}_{A_i}(x) \]
Integrale funzioni semplici
E per definizione abbiamo che se \( \phi\) è misurabile, i.e. tutti gli \(A_i \in F\), l'integrale di \( \phi \) è
\[ \int \phi d\mu = \sum_{i=1}^{n} a_i \mu(A_i) \]
Integrale funzione non negativa
Se \( f \) è misurabile, i.e. \( E_{\alpha} = \{ x \in \mathbb{R} : f(x) > \alpha \} \) è misurabile per ogni \( \alpha \) allora per definizione abbiamo
\[ \int f d\mu = \sup \{ \int \phi : 0 \leq \phi \leq f, \phi \text{ misurabile e semplice} \} \]
se \(E \subset X \) è misurabile e \(f \geq 0\) è misurabile allora
\[ \int_{E} f d \mu = \int f \mathbf{1}_{E} d \mu \]
Integrale in generale
Se \( f^+ = \max \{ f, 0 \} \) e \( f^{-} = \max\{ - f, 0 \} \) allora \( f= f^{+} - f^{-} \) e \( \left| f \right| = f^{+} + f^{-} \) e abbiamo che se \(f \) è misurabile allora diciamo che \(f\) è integrabile se
\[ \int \left| f \right| d \mu < \infty \]
e in questo caso definiamo l'integrale come
\[ \int f d \mu = \int f^{+} d \mu - \int f^{-} d \mu \]
Inoltre se \(E \subset X \), se \(E\) e \(f\) sono misurabili allora
\[ \int_E f d\mu = \int f \mathbf{1}_E d\mu \]
Bene! Fin qui tutto chiaro. Per definire la nozione di integrale siamo partiti dalla nozione di misura e di una sigma algebra. Ovvero abbiamo una sigma algebra su \(X\) e una funzione di misura sulla sigma algebra.
Recentemente ho visto questa definizione di integrale su \( \mathbb{R}^n \).
Diciamo che \(f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \cup \{ \infty \} \) è semi-continua inferiormente in \(x_0 \) se per ogni \(c \in \mathbb{R} \) tale che \( f(x_0) > 0 \) esiste un intorno \(U\) di \(x_0 \) tale che \(f(x) > c \) per ogni \(x \in U \). o equivalentemente
\[ \lim \inf_{x \to x_0} f(x) \geq f(x_0) \]
Similmente una funzione semi-continua superiormente lo è se
\[ \lim \sup_{x \to x_0} f(x) \leq f(x_0) \]
Definisce gli spazi \( S^{\uparrow} \) e \( S^{\downarrow} \) così
Siano \(f_k \in C_{c}(\mathbb{R}^n) \), \(k \in \mathbb{N} \), \(f_k \leq f_{k+1} \), dove \(C_c \) rappresenta le funzioni continue a supporto compatto.
Per ogni \( x \in \mathbb{R}^n \) possiamo definire
\[ f(x) := \lim_{k \to \infty} f_k(x) \in \mathbb{R} \cup \{ \infty \} \]
e abbiamo che \( f_k \uparrow f \). \(S^{\uparrow} \) è dunque l'insieme di tutte quelle funzioni ottenute come limite crescente di funzioni continue a supporto compatto.
In modo simile \( S^{\downarrow} \) è l'insieme di tutte quelle funzioni ottenute come limite decrescente di funzioni continue a supporto compatto. E poi nota che \( f \in S^{\uparrow} \) se e solo se \(f \) è semi-continua inferiormente. Immagino quindi (anche se non lo esplicita) che \( f \in S^{\downarrow} \) se e solo se \(f \) è semi-continua superiormente.
Integrale per funzioni a supporto compatto
Per ogni funzione \(f\) continua a supporto compatto esiste una pavimentazione \(R\) compatta che contiene il supporto e definisce allora
\[ \int_{\mathbb{R}^n} f(x)dx= \int_R f(x)dx \]
L'integrale non dipende dalla scelta \(R\).
Integrale su \( S^{\uparrow} \) e \( S^{\downarrow} \)
Se \(f_k \in C_{c}(\mathbb{R}^n) \) e \(f_k \uparrow f \in S^{\uparrow} \) allora
\[ \int_{\mathbb{R}^n} f(x) dx := \lim_{k \to \infty} \int_{R^n} f_k(x) dx \]
L'integrale non dipende dalla scelta di \(f_k \uparrow f \). In maniera analoga definisce l'integrale per \(f \in S^{\downarrow} \).
Integrale per funzioni qualunque
Sia \( f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \cup \{ \pm \infty \} \). Definisce quindi
\[ I_{inf}(f)= \inf \{ \int_{\mathbb{R}^n} \phi(x) dx , \phi \in S^{\uparrow}, \phi \geq f \} \]
\[ I_{sup}(f)= \sup \{ \int_{\mathbb{R}^n} \phi(x) dx , \phi \in S^{\downarrow}, \phi \leq f \} \]
una funzione è detta Lebesgue integrabile se
\[ - \infty < I_{\sup}(f) = I_{\inf}(f) < \infty \]
Presumo quindi che questa costruzione necessiti solamente di una topologia su uno spazio \(X\) e quindi è generalizzabile ad uno spazio \( (X,\tau) \), cioè a quelle funzioni \( f: X \to \mathbb{R} \cup \{ \pm \infty \} \).
Risposte
Parto scusandomi del fatto che non ho letto con attenzione la seconda parte del tuo messaggio ma gli ho dato solo un'occhiata veloce perchè mi stava fatica. Ma veniamo a noi.
No.
No, non è la topologia euclidea a generare la misura di Lebesgue, è la natura particolare di $RR^n$ a farlo.
Porta solo alla sigma algebra, che tra l'altro non è quella della misura di Lebesgue nel caso di $RR^n$. La metrizzabilità non c'entra nulla con la misura.
Si certo si può considerare la topologia generata da $F$ (ma è solo un esempio), la vera domanda è se ce ne importa qualcosa.
"3m0o":
1) È possibile definire l'integrale di Lebesgue senza la nozione di misura ma solo con la nozione di topologia?
No.
2) Immagino che se si prende la topologia euclidea dà origine alla misura di Lebesgue e quindi che \( (\mathbb{R},\tau_E) \) dà origine al \( (\mathbb{R},F,\mu) \) dove \( \mu \) è la misura di Lebesgue, prendendo come sigma algebra \(F\) la più piccola sigma algebra che contiene la topologia euclidea. È vero?
No, non è la topologia euclidea a generare la misura di Lebesgue, è la natura particolare di $RR^n$ a farlo.
3) Si può quindi dire che dato uno spazio topologico \( (X,\tau) \) mi porta ad uno spazio di misura \( (X,F,\mu) \)? Oppure mi porta solo ad una sigma algebra \(F\) su \(X\) mentre per associargli univocamente la funzione di misura \(\mu\) ho bisogno che lo spazio topologico metrizzabile?
Porta solo alla sigma algebra, che tra l'altro non è quella della misura di Lebesgue nel caso di $RR^n$. La metrizzabilità non c'entra nulla con la misura.
4) È vero il contrario? Data uno spazio di misura \((X,F, \mu) \) si può sempre associargli uno spazio topologico \((X, \tau) \)?
Si certo si può considerare la topologia generata da $F$ (ma è solo un esempio), la vera domanda è se ce ne importa qualcosa.
Per quanto riguarda 1) a me sembra che il secondo modo di definire l'integrale di Lebesgue, con S up e S down, non richieda nessuna nozione di misura a priori, ma solo di topologia. Che poi porti ad una misura è un'altra cosa. Sbaglio?
"3m0o":
E poi nota che \( f \in S^{\uparrow} \) se e solo se \(f \) è semi-continua inferiormente. Immagino quindi (anche se non lo esplicita) che \( f \in S^{\downarrow} \) se e solo se \(f \) è semi-continua superiormente.
Questo lo puoi controllare facilmente mettendo un $-$.
Integrale per funzioni a supporto compatto
Per ogni funzione \(f\) continua a supporto compatto esiste una pavimentazione \(R\) compatta che contiene il supporto e definisce allora
\[ \int_{\mathbb{R}^n} f(x)dx= \int_R f(x)dx \]
E questo come lo fai solo con la topologia?
Per 3) il fatto è che intuitivamente, anche se sono concetti comunque molto distinti, una funzione di misura mi permette di dare un senso al volume, alla lunghezza, etc. Cioè mi definisce la "grandezza" di un insieme misurabile. Mentre una funzione di distanza di uno spazio metrico mi definisce la distanza tra due punti dello spazio. Mi sembra strano che questi due concetti non siano legati. Cioè mi sembra strano che a partire dal fatto che io sappia dire quanto distano due punti io non sappia misurare la grandezza di un insieme di punti e viceversa. Quindi mi chiedevo se da una topologia posso indurre una sigma algebra e viceversa ciò che mi permetteva di indurre una misura era la metrica, i.e. la distanza, e viceversa.
"otta96":
Integrale per funzioni a supporto compatto
Per ogni funzione \(f\) continua a supporto compatto esiste una pavimentazione \(R\) compatta che contiene il supporto e definisce allora
\[ \int_{\mathbb{R}^n} f(x)dx= \int_R f(x)dx \]
E questo come lo fai solo con la topologia?
Ci devo pensare
Capisco il tuo ragionamento intuitivo ma la verità è che sono concetti più scollegati di quanto si possa pensare, anche se non lo sono del tutto.
Per esempio che io sappia non c'è nessun procedimento che da una misura induca una metrica, mentre da una metrica si possono indurre delle misure, che però sono lungi dall'essere uniche, ad esempio le misure di Haussdorff indotte da una metrica sono infinite. In generale non puoi pretendere un'unicità delle misure senza restrizioni perchè su qualsiasi spazio misurabile puoi mettere le misure costantemente $0$ e $\infty$.
Un altro esempio è che basta la topologia (con qualcosa in più) per generare una misura, ad esempio se hai un gruppo topologico localmente compatto ci puoi indurre una misura che è l'unica ad avere certe caratteristiche relative alla struttura di gruppo, indipendentemente dalla metrizzabilità.
Per esempio che io sappia non c'è nessun procedimento che da una misura induca una metrica, mentre da una metrica si possono indurre delle misure, che però sono lungi dall'essere uniche, ad esempio le misure di Haussdorff indotte da una metrica sono infinite. In generale non puoi pretendere un'unicità delle misure senza restrizioni perchè su qualsiasi spazio misurabile puoi mettere le misure costantemente $0$ e $\infty$.
Un altro esempio è che basta la topologia (con qualcosa in più) per generare una misura, ad esempio se hai un gruppo topologico localmente compatto ci puoi indurre una misura che è l'unica ad avere certe caratteristiche relative alla struttura di gruppo, indipendentemente dalla metrizzabilità.
Tra l'altro per 4) se dici che gli aperti sono generato dagli insiemi nella sigma algebra non hai necessariamente una topologia... manca la condizione che un unione arbitraria di aperta è un aperto. Nella sigma algebra hai solo un unione numerbile
Ma non hai presente il procedimento che ti da una topologia che è la meno fine tra quelle che contengono una famiglia di sottoinsiemi preassegnata?
Onestamente non me lo ricordo quel procedimento
Tra l'altro mi dispiace rispondere con poco approfondimento e un po' a messaggi sparsi ma sono in treno e non ho carta e penna, inoltre con il telefono mi è difficile. Solo che ieri notte mi è venuto questo cruccio con questi spazi dovuto a queste domande
Tra l'altro mi dispiace rispondere con poco approfondimento e un po' a messaggi sparsi ma sono in treno e non ho carta e penna, inoltre con il telefono mi è difficile. Solo che ieri notte mi è venuto questo cruccio con questi spazi dovuto a queste domande
"3m0o":
Tra l'altro mi dispiace rispondere con poco approfondimento e un po' a messaggi sparsi ma sono in treno e non ho carta e penna, inoltre con il telefono mi è difficile. Solo che ieri notte mi è venuto questo cruccio con questi spazi dovuto a queste domande
No problem.
Comunque lo puoi vedere sia come l'intersezione di tutte le topologie che contengono (diciamo) $F$ (visione "dall'alto" non costruttiva), sia come l'insieme delle unioni arbitrarie di intersezioni finite di elementi di $F$ (visione "dal basso" costruttiva). In questo caso non c'è bisogno di fare le intersezioni finite preventivamente.
"3m0o":
[quote="otta96"]
Integrale per funzioni a supporto compatto
Per ogni funzione \(f\) continua a supporto compatto esiste una pavimentazione \(R\) compatta che contiene il supporto e definisce allora
\[ \int_{\mathbb{R}^n} f(x)dx= \int_R f(x)dx \]
E questo come lo fai solo con la topologia?
Ci devo pensare[/quote]
Mi confonde questo integrale... perché il suo obbiettivo è definire l'integrale di Lebesgue. Non può partire dall'integrale di Lebesgue per definiro... quindi presumo sia l'integrale di Riemann.
Già.
"otta96":
Già.
È necessaria la misura nell'integrazione di Riemann?
Dimmelo te.
Io ti direi di no, ma dal momento che tu mi hai risposto prima che non si può definire l integrale di lebesgue senza misura direi di si ahah
"otta96":
[quote="3m0o"]1) È possibile definire l'integrale di Lebesgue senza la nozione di misura ma solo con la nozione di topologia?
No.
[/quote]
Vabbè so che è wikipedia, però mi sembra l'integrale di Daniell quello che ho scritto. E in tal caso secondo wikipedia dice che non richiede lo sviluppo della teoria della misura.
https://en.wikipedia.org/wiki/Daniell_integral
Detto ciò, ed uscendo un po' dal discorso di integrale, sapete di un libro dove è trattato in modo abbastanza approfondito il legame che c'è tra spazi topologici, spazi metrici e spazi misurabili? Se esiste.
Nel senso, okay da ogni spazio metrico posso indurre una topologia canonica, e alcune topologie derivano da una metrica. Però mi sembra comunque che sia sbagliato affermare che uno spazio metrico è uno spazio topologico. Banalmente \( (0,1) \) e \( \mathbb{R} \) sono equivalenti come spazi topologici ma non come spazi metrici. Inoltre passando alla topologia perdo informazione. Mi pare che sia possibile che ci siano più metriche che danno origine alla stessa topologia e quindi solo con la topologia non ho informazioni sulla metrica, o sbaglio?
Mi sembra che quando una topologia è indotta da una metrica allora una funzione continua nel senso degli aperti nella topologia se e solo se è continua nel senso della definizione \( \delta\)-\(\epsilon\) rispetto alla metrica. Però comunque nulla mi vieta di avere uno spazio metrico \( (X,d) \) e definirci una topologia che non è indotta da \(d\), magari indotta da un altra metrica, oppure una topologia che non è indotta da nessuna metrica, come la topologia cofinita su un insieme infinito. In quel caso avrei due concetti differenti di continuità sul medesimo insieme? Uno con la definizione della metrica e uno con la definizione di aperti? Ci sono comunque dei legami? Non ci sono?
Legami simili tra funzioni misurabili e continue secondo una topologia? Tra funzioni misurabili e funzioni continue secondo la metrica?
Mi piacerebbe un libro che tratta di cose simili. Per spazi metrici, topologici e misurabili. Se esiste.
Nel senso, okay da ogni spazio metrico posso indurre una topologia canonica, e alcune topologie derivano da una metrica. Però mi sembra comunque che sia sbagliato affermare che uno spazio metrico è uno spazio topologico. Banalmente \( (0,1) \) e \( \mathbb{R} \) sono equivalenti come spazi topologici ma non come spazi metrici. Inoltre passando alla topologia perdo informazione. Mi pare che sia possibile che ci siano più metriche che danno origine alla stessa topologia e quindi solo con la topologia non ho informazioni sulla metrica, o sbaglio?
Mi sembra che quando una topologia è indotta da una metrica allora una funzione continua nel senso degli aperti nella topologia se e solo se è continua nel senso della definizione \( \delta\)-\(\epsilon\) rispetto alla metrica. Però comunque nulla mi vieta di avere uno spazio metrico \( (X,d) \) e definirci una topologia che non è indotta da \(d\), magari indotta da un altra metrica, oppure una topologia che non è indotta da nessuna metrica, come la topologia cofinita su un insieme infinito. In quel caso avrei due concetti differenti di continuità sul medesimo insieme? Uno con la definizione della metrica e uno con la definizione di aperti? Ci sono comunque dei legami? Non ci sono?
Legami simili tra funzioni misurabili e continue secondo una topologia? Tra funzioni misurabili e funzioni continue secondo la metrica?
Mi piacerebbe un libro che tratta di cose simili. Per spazi metrici, topologici e misurabili. Se esiste.
"3m0o":
Nel senso, okay da ogni spazio metrico posso indurre una topologia canonica, e alcune topologie derivano da una metrica. Però mi sembra comunque che sia sbagliato affermare che uno spazio metrico è uno spazio topologico. Banalmente \( (0,1) \) e \( \mathbb{R} \) sono equivalenti come spazi topologici ma non come spazi metrici. Inoltre passando alla topologia perdo informazione. Mi pare che sia possibile che ci siano più metriche che danno origine alla stessa topologia e quindi solo con la topologia non ho informazioni sulla metrica, o sbaglio?
È un po' la differenza tra spazio metrico e spazio metrizzabile, in fondo, in cui nel primo caso c'è più l'accento sul fatto che si maneggia uno spazio metrico con metrica nota, nel secondo uno spazio topologico con una (potenziale) metrica ignota. Questo comporta che in caso si può parlare liberamente di distanza e di concetti legati nell'altro no.
Poi se definisci una topologia che non c'entra nulla è chiaro che i concetti di continuità possono essere completamente scorrelati, ma questo succede anche con due topologie o due metriche.
Per quanto riguarda il libro che vorresti leggere, io non conosco nessun libro del genere, ma la cosa che ci va più vicina è questo, che si concentra più che altro sulle somiglianze e le differenze tra insiemi di prima categoria e di misura nulla.
Il "giusto" contesto in cui rispondere a questa domanda è la teoria geometrica della misura, e il "giusto" esempio da studiare è la misura di Hausdorff, che difatti è una misura costruita a partire da una METRICA (non una topologia):
https://en.wikipedia.org/wiki/Hausdorff_measure
La misura di Lebesgue è un caso particolare di misura di Hausdorff, più semplice, e adattata allo spazio euclideo.
Il mio consiglio per 3m0o è di mettere questa domanda nel cassetto e di riprenderla più avanti.
https://en.wikipedia.org/wiki/Hausdorff_measure
La misura di Lebesgue è un caso particolare di misura di Hausdorff, più semplice, e adattata allo spazio euclideo.
Il mio consiglio per 3m0o è di mettere questa domanda nel cassetto e di riprenderla più avanti.
Guarderò grazie, ma tornando alla seconda definizione di integrale che ho scritto, quella definizione mi sembra che richieda solamente la nozione di una topologia per essere definito. Quindi non una metrica ne una misura, è corretto?
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