Spazi topologici, misurabili e integrale
Avrei un paio di domande sull'integrale di Lebesgue, che sono le seguenti
1) È possibile definire l'integrale di Lebesgue senza la nozione di misura ma solo con la nozione di topologia?
2) Immagino che se si prende la topologia euclidea dà origine alla misura di Lebesgue e quindi che \( (\mathbb{R},\tau_E) \) dà origine al \( (\mathbb{R},F,\mu) \) dove \( \mu \) è la misura di Lebesgue, prendendo come sigma algebra \(F\) la più piccola sigma algebra che contiene la topologia euclidea. È vero?
3) Si può quindi dire che dato uno spazio topologico \( (X,\tau) \) mi porta ad uno spazio di misura \( (X,F,\mu) \)? Oppure mi porta solo ad una sigma algebra \(F\) su \(X\) mentre per associargli univocamente la funzione di misura \(\mu\) ho bisogno che lo spazio topologico metrizzabile?
4) È vero il contrario? Data uno spazio di misura \((X,F, \mu) \) si può sempre associargli uno spazio topologico \((X, \tau) \)?
La definizione diciamo "classica" dell'integrale di Lebesgue parte da uno spazio di misura. Ovvero \( (X,F,\mu) \), dove \(F\) è una \(\sigma\)-algebra su \( X \) e \( \mu \) è una funzione di misura.
Si parte dalle funzioni semplici, i.e. \( \phi : \mathbb{R} \to \mathbb{R}_+ \) è semplice se esistono distinti \( a_1,\ldots, a_n \geq 0 \) e
\[ A_i = \{ x \in \mathbb{R} : \phi(x) = a_i \} \]
dunque
\[ \phi(x) = \sum_{i=1}^{n} a_i \mathbf{1}_{A_i}(x) \]
Integrale funzioni semplici
E per definizione abbiamo che se \( \phi\) è misurabile, i.e. tutti gli \(A_i \in F\), l'integrale di \( \phi \) è
\[ \int \phi d\mu = \sum_{i=1}^{n} a_i \mu(A_i) \]
Integrale funzione non negativa
Se \( f \) è misurabile, i.e. \( E_{\alpha} = \{ x \in \mathbb{R} : f(x) > \alpha \} \) è misurabile per ogni \( \alpha \) allora per definizione abbiamo
\[ \int f d\mu = \sup \{ \int \phi : 0 \leq \phi \leq f, \phi \text{ misurabile e semplice} \} \]
se \(E \subset X \) è misurabile e \(f \geq 0\) è misurabile allora
\[ \int_{E} f d \mu = \int f \mathbf{1}_{E} d \mu \]
Integrale in generale
Se \( f^+ = \max \{ f, 0 \} \) e \( f^{-} = \max\{ - f, 0 \} \) allora \( f= f^{+} - f^{-} \) e \( \left| f \right| = f^{+} + f^{-} \) e abbiamo che se \(f \) è misurabile allora diciamo che \(f\) è integrabile se
\[ \int \left| f \right| d \mu < \infty \]
e in questo caso definiamo l'integrale come
\[ \int f d \mu = \int f^{+} d \mu - \int f^{-} d \mu \]
Inoltre se \(E \subset X \), se \(E\) e \(f\) sono misurabili allora
\[ \int_E f d\mu = \int f \mathbf{1}_E d\mu \]
Bene! Fin qui tutto chiaro. Per definire la nozione di integrale siamo partiti dalla nozione di misura e di una sigma algebra. Ovvero abbiamo una sigma algebra su \(X\) e una funzione di misura sulla sigma algebra.
Recentemente ho visto questa definizione di integrale su \( \mathbb{R}^n \).
Diciamo che \(f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \cup \{ \infty \} \) è semi-continua inferiormente in \(x_0 \) se per ogni \(c \in \mathbb{R} \) tale che \( f(x_0) > 0 \) esiste un intorno \(U\) di \(x_0 \) tale che \(f(x) > c \) per ogni \(x \in U \). o equivalentemente
\[ \lim \inf_{x \to x_0} f(x) \geq f(x_0) \]
Similmente una funzione semi-continua superiormente lo è se
\[ \lim \sup_{x \to x_0} f(x) \leq f(x_0) \]
Definisce gli spazi \( S^{\uparrow} \) e \( S^{\downarrow} \) così
Siano \(f_k \in C_{c}(\mathbb{R}^n) \), \(k \in \mathbb{N} \), \(f_k \leq f_{k+1} \), dove \(C_c \) rappresenta le funzioni continue a supporto compatto.
Per ogni \( x \in \mathbb{R}^n \) possiamo definire
\[ f(x) := \lim_{k \to \infty} f_k(x) \in \mathbb{R} \cup \{ \infty \} \]
e abbiamo che \( f_k \uparrow f \). \(S^{\uparrow} \) è dunque l'insieme di tutte quelle funzioni ottenute come limite crescente di funzioni continue a supporto compatto.
In modo simile \( S^{\downarrow} \) è l'insieme di tutte quelle funzioni ottenute come limite decrescente di funzioni continue a supporto compatto. E poi nota che \( f \in S^{\uparrow} \) se e solo se \(f \) è semi-continua inferiormente. Immagino quindi (anche se non lo esplicita) che \( f \in S^{\downarrow} \) se e solo se \(f \) è semi-continua superiormente.
Integrale per funzioni a supporto compatto
Per ogni funzione \(f\) continua a supporto compatto esiste una pavimentazione \(R\) compatta che contiene il supporto e definisce allora
\[ \int_{\mathbb{R}^n} f(x)dx= \int_R f(x)dx \]
L'integrale non dipende dalla scelta \(R\).
Integrale su \( S^{\uparrow} \) e \( S^{\downarrow} \)
Se \(f_k \in C_{c}(\mathbb{R}^n) \) e \(f_k \uparrow f \in S^{\uparrow} \) allora
\[ \int_{\mathbb{R}^n} f(x) dx := \lim_{k \to \infty} \int_{R^n} f_k(x) dx \]
L'integrale non dipende dalla scelta di \(f_k \uparrow f \). In maniera analoga definisce l'integrale per \(f \in S^{\downarrow} \).
Integrale per funzioni qualunque
Sia \( f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \cup \{ \pm \infty \} \). Definisce quindi
\[ I_{inf}(f)= \inf \{ \int_{\mathbb{R}^n} \phi(x) dx , \phi \in S^{\uparrow}, \phi \geq f \} \]
\[ I_{sup}(f)= \sup \{ \int_{\mathbb{R}^n} \phi(x) dx , \phi \in S^{\downarrow}, \phi \leq f \} \]
una funzione è detta Lebesgue integrabile se
\[ - \infty < I_{\sup}(f) = I_{\inf}(f) < \infty \]
Presumo quindi che questa costruzione necessiti solamente di una topologia su uno spazio \(X\) e quindi è generalizzabile ad uno spazio \( (X,\tau) \), cioè a quelle funzioni \( f: X \to \mathbb{R} \cup \{ \pm \infty \} \).
1) È possibile definire l'integrale di Lebesgue senza la nozione di misura ma solo con la nozione di topologia?
2) Immagino che se si prende la topologia euclidea dà origine alla misura di Lebesgue e quindi che \( (\mathbb{R},\tau_E) \) dà origine al \( (\mathbb{R},F,\mu) \) dove \( \mu \) è la misura di Lebesgue, prendendo come sigma algebra \(F\) la più piccola sigma algebra che contiene la topologia euclidea. È vero?
3) Si può quindi dire che dato uno spazio topologico \( (X,\tau) \) mi porta ad uno spazio di misura \( (X,F,\mu) \)? Oppure mi porta solo ad una sigma algebra \(F\) su \(X\) mentre per associargli univocamente la funzione di misura \(\mu\) ho bisogno che lo spazio topologico metrizzabile?
4) È vero il contrario? Data uno spazio di misura \((X,F, \mu) \) si può sempre associargli uno spazio topologico \((X, \tau) \)?
La definizione diciamo "classica" dell'integrale di Lebesgue parte da uno spazio di misura. Ovvero \( (X,F,\mu) \), dove \(F\) è una \(\sigma\)-algebra su \( X \) e \( \mu \) è una funzione di misura.
Si parte dalle funzioni semplici, i.e. \( \phi : \mathbb{R} \to \mathbb{R}_+ \) è semplice se esistono distinti \( a_1,\ldots, a_n \geq 0 \) e
\[ A_i = \{ x \in \mathbb{R} : \phi(x) = a_i \} \]
dunque
\[ \phi(x) = \sum_{i=1}^{n} a_i \mathbf{1}_{A_i}(x) \]
Integrale funzioni semplici
E per definizione abbiamo che se \( \phi\) è misurabile, i.e. tutti gli \(A_i \in F\), l'integrale di \( \phi \) è
\[ \int \phi d\mu = \sum_{i=1}^{n} a_i \mu(A_i) \]
Integrale funzione non negativa
Se \( f \) è misurabile, i.e. \( E_{\alpha} = \{ x \in \mathbb{R} : f(x) > \alpha \} \) è misurabile per ogni \( \alpha \) allora per definizione abbiamo
\[ \int f d\mu = \sup \{ \int \phi : 0 \leq \phi \leq f, \phi \text{ misurabile e semplice} \} \]
se \(E \subset X \) è misurabile e \(f \geq 0\) è misurabile allora
\[ \int_{E} f d \mu = \int f \mathbf{1}_{E} d \mu \]
Integrale in generale
Se \( f^+ = \max \{ f, 0 \} \) e \( f^{-} = \max\{ - f, 0 \} \) allora \( f= f^{+} - f^{-} \) e \( \left| f \right| = f^{+} + f^{-} \) e abbiamo che se \(f \) è misurabile allora diciamo che \(f\) è integrabile se
\[ \int \left| f \right| d \mu < \infty \]
e in questo caso definiamo l'integrale come
\[ \int f d \mu = \int f^{+} d \mu - \int f^{-} d \mu \]
Inoltre se \(E \subset X \), se \(E\) e \(f\) sono misurabili allora
\[ \int_E f d\mu = \int f \mathbf{1}_E d\mu \]
Bene! Fin qui tutto chiaro. Per definire la nozione di integrale siamo partiti dalla nozione di misura e di una sigma algebra. Ovvero abbiamo una sigma algebra su \(X\) e una funzione di misura sulla sigma algebra.
Recentemente ho visto questa definizione di integrale su \( \mathbb{R}^n \).
Diciamo che \(f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \cup \{ \infty \} \) è semi-continua inferiormente in \(x_0 \) se per ogni \(c \in \mathbb{R} \) tale che \( f(x_0) > 0 \) esiste un intorno \(U\) di \(x_0 \) tale che \(f(x) > c \) per ogni \(x \in U \). o equivalentemente
\[ \lim \inf_{x \to x_0} f(x) \geq f(x_0) \]
Similmente una funzione semi-continua superiormente lo è se
\[ \lim \sup_{x \to x_0} f(x) \leq f(x_0) \]
Definisce gli spazi \( S^{\uparrow} \) e \( S^{\downarrow} \) così
Siano \(f_k \in C_{c}(\mathbb{R}^n) \), \(k \in \mathbb{N} \), \(f_k \leq f_{k+1} \), dove \(C_c \) rappresenta le funzioni continue a supporto compatto.
Per ogni \( x \in \mathbb{R}^n \) possiamo definire
\[ f(x) := \lim_{k \to \infty} f_k(x) \in \mathbb{R} \cup \{ \infty \} \]
e abbiamo che \( f_k \uparrow f \). \(S^{\uparrow} \) è dunque l'insieme di tutte quelle funzioni ottenute come limite crescente di funzioni continue a supporto compatto.
In modo simile \( S^{\downarrow} \) è l'insieme di tutte quelle funzioni ottenute come limite decrescente di funzioni continue a supporto compatto. E poi nota che \( f \in S^{\uparrow} \) se e solo se \(f \) è semi-continua inferiormente. Immagino quindi (anche se non lo esplicita) che \( f \in S^{\downarrow} \) se e solo se \(f \) è semi-continua superiormente.
Integrale per funzioni a supporto compatto
Per ogni funzione \(f\) continua a supporto compatto esiste una pavimentazione \(R\) compatta che contiene il supporto e definisce allora
\[ \int_{\mathbb{R}^n} f(x)dx= \int_R f(x)dx \]
L'integrale non dipende dalla scelta \(R\).
Integrale su \( S^{\uparrow} \) e \( S^{\downarrow} \)
Se \(f_k \in C_{c}(\mathbb{R}^n) \) e \(f_k \uparrow f \in S^{\uparrow} \) allora
\[ \int_{\mathbb{R}^n} f(x) dx := \lim_{k \to \infty} \int_{R^n} f_k(x) dx \]
L'integrale non dipende dalla scelta di \(f_k \uparrow f \). In maniera analoga definisce l'integrale per \(f \in S^{\downarrow} \).
Integrale per funzioni qualunque
Sia \( f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \cup \{ \pm \infty \} \). Definisce quindi
\[ I_{inf}(f)= \inf \{ \int_{\mathbb{R}^n} \phi(x) dx , \phi \in S^{\uparrow}, \phi \geq f \} \]
\[ I_{sup}(f)= \sup \{ \int_{\mathbb{R}^n} \phi(x) dx , \phi \in S^{\downarrow}, \phi \leq f \} \]
una funzione è detta Lebesgue integrabile se
\[ - \infty < I_{\sup}(f) = I_{\inf}(f) < \infty \]
Presumo quindi che questa costruzione necessiti solamente di una topologia su uno spazio \(X\) e quindi è generalizzabile ad uno spazio \( (X,\tau) \), cioè a quelle funzioni \( f: X \to \mathbb{R} \cup \{ \pm \infty \} \).
Risposte
Ma la tua definizione è incompleta. Quanto vale l'integrale
\[
\int_R\, dm,\]
se \(R\) è un compatto? Parli di "integrale di funzioni semplici", benissimo, ma quanto vale questo integrale? È lì che avrai bisogno della metrica. Faccio una domanda molto semplice. Quanto vale la misura di
\[
[a, b]\times [c, d]?\]
Siamo in \(\mathbb R^2\). Come fai a rispondere usando la sola topologia?
\[
\int_R\, dm,\]
se \(R\) è un compatto? Parli di "integrale di funzioni semplici", benissimo, ma quanto vale questo integrale? È lì che avrai bisogno della metrica. Faccio una domanda molto semplice. Quanto vale la misura di
\[
[a, b]\times [c, d]?\]
Siamo in \(\mathbb R^2\). Come fai a rispondere usando la sola topologia?
Leggendo il libro che ti avevo consigliato ho visto che c'è un modo per definire una topologia da uno spazio di misura finita completo.
"dissonance":
Ma la tua definizione è incompleta. Quanto vale l'integrale
\[
\int_R\, dm,\]
se \(R\) è un compatto? Parli di "integrale di funzioni semplici", benissimo, ma quanto vale questo integrale? È lì che avrai bisogno della metrica. Faccio una domanda molto semplice. Quanto vale la misura di
\[
[a, b]\times [c, d]?\]
Siamo in \(\mathbb R^2\). Come fai a rispondere usando la sola topologia?
Ma perché scusa? Per definire un compatto ho bisogno solo di una topologia e non di una metrica.
Ma il punto non è mica il compatto XD è l'integrale.
Come amo ripetere, nonostante otta che se la ride ( 
), la risposta qua é un numero. Con la misura di Lebesgue, la misura di \([a,b]\times[c,d]\) é \((b-a)(d-c)\). Con la nuova misura \(\mu\) che vuoi definire tu, quanto vale \(\mu([a, b]\times[c, d])\)?
Voglio proprio vedere come farai a rispondere a questa domanda senza tirare in ballo nessun concetto metrico. (Metto un'altra faccina: perché non vorrei sembrare "patronising". Questa discussione é bella, anche se secondo me ha una risposta negativa).
), la risposta qua é un numero. Con la misura di Lebesgue, la misura di \([a,b]\times[c,d]\) é \((b-a)(d-c)\). Con la nuova misura \(\mu\) che vuoi definire tu, quanto vale \(\mu([a, b]\times[c, d])\)? Voglio proprio vedere come farai a rispondere a questa domanda senza tirare in ballo nessun concetto metrico. (Metto un'altra faccina:
perché non vorrei sembrare "patronising". Questa discussione é bella, anche se secondo me ha una risposta negativa).
Qui \(Q\) sarebbe \(R\). Io non vedo nessun legame con una metrica... se c'è mi è oscuro. Inoltre non ho idea di cosa la citata misura di Haar (ho cercato e ho visto che è una misura su un gruppo topologico localmente compatto).
Beh cito direttamente la fonte: "Analysis 3 - Integralrechnung im \( \mathbb{R}^n \) und Anwendungen" di Otto Forster.
Che dovrebbe essere tradotto in circa questo
Il libro inizia con l'introduzione dell'integrale per funzioni a supporto compatto in \( \mathbb{R}^n \) mediante integrazione successiva. Questo integrale sarà poi caratterizzato come la misura di Haar su \( \mathbb{R}^n \) , univocamente determinata tranne che per un fattore costante.
che si traduce circa in questo
Sia \(Q\) un parallelepipedo compatto di \(\mathbb{R}^n\), cioè
\[Q=I_1 \times I_2 \times \ldots \times I_n\]
dove ogni \(I_k = [a_k, b_k] \) è sottoinsieme di \( \mathbb{R} \) ed è un intervallo chiuso. Sia data una funzione continua su \(Q\)
\[ f: Q \to \mathbb{R}\]
\[(x_1,\ldots,x_n) \mapsto f(x_1,\ldots,x_n) \]
Fissando \( (x_2,\ldots,x_n) \in I_2 \times \ldots \times I_n \) possiamo integrare questa funzione su \(I_1\) rispetto a \(x_1\) nel seguente modo
\[ F_1(x_2, ... ,x_n) := \int_{a_1}^{b_1} f(x_1,x_2, \ldots ,x_n)dx_1 \]
Per la proposizione 1 negli annessi, otteniamo una funzione continua
\[ F_1 : I_2 \times \ldots \times I_n \to \mathbb{R} \]
Questa funzione può a sua volta essere integrata rispetto alla variabile \(x_2 \) su \(I_2 \) con \((x_3 , \ldots , x_n) \in I_3 \times \ldots \times I_n \) fissato,
\[ F_2(x_3, ... ,x_n) := \int_{a_2}^{b_2} F_1(x_2, \ldots ,x_n)dx_2 = \int_{a_2}^{b_2} \int_{a_1}^{b_1} f(x_1,x_2, \ldots ,x_n)dx_1 dx_2 \]
\(F_2\) è una funzione continua su \(I_3 \times \ldots \times I_n \), che può essere integrata su \(I_3\) rispetto a \(x_3\). Dopo aver ripetuto la procedura \(n\)-volte, finalmente, dopo l'integrazione sull'ultima variabile \(x_n\), si ottiene un numero reale che si chiama integrale di \(f\) su \(Q\) ed è denotato con
\[ \int_{Q} f(x_1,\ldots,x_n)dx_1\ldots dx_n = \int_{a_n}^{b_n} \ldots \int_{a_1}^{b_1} f(x_1,\ldots,x_n) dx_1 \ldots dx_n \]
Edit: se mi dite che la metrica si nasconde nella topologia che rende \( \mathbb{R} \) un gruppo topologico compatto, non sono d'accordo! perché se è vero la topologia euclidea è indotta dalla metrica euclidea, però a priori nessuno mi vieta di definire quella topologia senza avere nozione di distanza alcuna, ne tanto meno di definire qualche topologia differente da questa!
Beh cito direttamente la fonte: "Analysis 3 - Integralrechnung im \( \mathbb{R}^n \) und Anwendungen" di Otto Forster.
Das Buch beginnt mit der Einführung des Integrals für stetige Funktionen mit kompaktem
Träger im \( \mathbb{R}^n \) durch sukzessive Integration. Dieses Integral wird dann als das bis auf einen
konstanten Faktor eindeutig bestimmte Haarsehe Maß auf dem \(\mathbb{R}^n\) charakterisiert.
Che dovrebbe essere tradotto in circa questo
Il libro inizia con l'introduzione dell'integrale per funzioni a supporto compatto in \( \mathbb{R}^n \) mediante integrazione successiva. Questo integrale sarà poi caratterizzato come la misura di Haar su \( \mathbb{R}^n \) , univocamente determinata tranne che per un fattore costante.
Sei \(Q\) ein achsenparalleler kompakter Quader im \(\mathbb{R}^n\), d.h.
\[Q=I_1 \times I_2 \times \ldots \times I_n\]
wobei jedes \(I_k = [a_k, b_k] \subset \mathbb{R} \) ein beschränktes abgeschlossenes Intervall ist. Auf \(Q\) sei
eine stetige Funktion
\[ f: Q \to \mathbb{R} \]
\[(x_1,\ldots,x_n) \mapsto f(x_1,\ldots,x_n) \]
gegeben. Bei festgehaltenem \( (x_2,\ldots,x_n) \in I_2 \times \ldots \times I_n \) kann diese Funktion bzgl. \(x_1\)
über das Intervall \(I_1\) integriert werden,
\[ F_1(x_2, ... ,x_n) := \int_{a_1}^{b_1} f(x_1,x_2, \ldots ,x_n)dx_1 \]
Nach An. 2, § 9, Satz 1 ,-erhält man so eine stetige Funktion
\[ F_1 : I_2 \times \ldots \times I_n \to \mathbb{R} \]
Diese Funktion kann wiederum bei festgehaltenem \((x_3 , \ldots , x_n) \in I_3 \times \ldots \times I_n \) bzgl. der Variablen \(x_2 \) über \(I_2\) integriert werden,
\[ F_2(x_3, ... ,x_n) := \int_{a_2}^{b_2} F_1(x_2, \ldots ,x_n)dx_2 = \int_{a_2}^{b_2} \int_{a_1}^{b_1} f(x_1,x_2, \ldots ,x_n)dx_1 dx_2 \]
\(F_2\) ist eine stetige Funktion auf \(I_3 \times \ldots \times I_n \), die bzgl. \(x_3\) über \(I_3\) integriert werden kann. Nach \(n\)-maliger Wiederholung des Verfahrens erhält man schließlich nach Integration über
die letzte Variable \(x_n\) eine reelle Zahl, die Integral von \(f\) über \(Q\) heißt und mit
\[ \int_{Q} f(x_1,\ldots,x_n)dx_1\ldots dx_n = \int_{a_n}^{b_n} \ldots \int_{a_1}^{b_1} f(x_1,\ldots,x_n) dx_1 \ldots dx_n \]
bezeichnet wird.
che si traduce circa in questo
Sia \(Q\) un parallelepipedo compatto di \(\mathbb{R}^n\), cioè
\[Q=I_1 \times I_2 \times \ldots \times I_n\]
dove ogni \(I_k = [a_k, b_k] \) è sottoinsieme di \( \mathbb{R} \) ed è un intervallo chiuso. Sia data una funzione continua su \(Q\)
\[ f: Q \to \mathbb{R}\]
\[(x_1,\ldots,x_n) \mapsto f(x_1,\ldots,x_n) \]
Fissando \( (x_2,\ldots,x_n) \in I_2 \times \ldots \times I_n \) possiamo integrare questa funzione su \(I_1\) rispetto a \(x_1\) nel seguente modo
\[ F_1(x_2, ... ,x_n) := \int_{a_1}^{b_1} f(x_1,x_2, \ldots ,x_n)dx_1 \]
Per la proposizione 1 negli annessi, otteniamo una funzione continua
\[ F_1 : I_2 \times \ldots \times I_n \to \mathbb{R} \]
Questa funzione può a sua volta essere integrata rispetto alla variabile \(x_2 \) su \(I_2 \) con \((x_3 , \ldots , x_n) \in I_3 \times \ldots \times I_n \) fissato,
\[ F_2(x_3, ... ,x_n) := \int_{a_2}^{b_2} F_1(x_2, \ldots ,x_n)dx_2 = \int_{a_2}^{b_2} \int_{a_1}^{b_1} f(x_1,x_2, \ldots ,x_n)dx_1 dx_2 \]
\(F_2\) è una funzione continua su \(I_3 \times \ldots \times I_n \), che può essere integrata su \(I_3\) rispetto a \(x_3\). Dopo aver ripetuto la procedura \(n\)-volte, finalmente, dopo l'integrazione sull'ultima variabile \(x_n\), si ottiene un numero reale che si chiama integrale di \(f\) su \(Q\) ed è denotato con
\[ \int_{Q} f(x_1,\ldots,x_n)dx_1\ldots dx_n = \int_{a_n}^{b_n} \ldots \int_{a_1}^{b_1} f(x_1,\ldots,x_n) dx_1 \ldots dx_n \]
Edit: se mi dite che la metrica si nasconde nella topologia che rende \( \mathbb{R} \) un gruppo topologico compatto, non sono d'accordo! perché se è vero la topologia euclidea è indotta dalla metrica euclidea, però a priori nessuno mi vieta di definire quella topologia senza avere nozione di distanza alcuna, ne tanto meno di definire qualche topologia differente da questa!
Ok, fantastico. Come rispondi alla mia domanda precedente? Non te ne uscire con libri in tedesco. Quanto vale la misura di \([a, b]\times [c, d]\)?
Beh non lo so con certezza... ma da quello che ho capito questo modo di definire l'integrale genera tale misura di Haar, che su \( \mathbb{R}^n \) coincide con la misura di Lebesgue nel caso specifico è la medesima misura di quella di Lebesgue. Il punto è che da quel che ho capito la misura di Haar è definibile su gruppi topologici localmente compatti quindi anche dove non è possibile definire una metrica.
"3m0o":
la misura di Haar è definibile su gruppi topologici localmente compatti quindi anche dove non è possibile definire una metrica.
Questo è vero ed è una buona osservazione. Nota comunque che hai bisogno della struttura di gruppo, la sola locale compattezza non è sufficiente a portare a termine la costruzione della misura di Haar.
Mi sembra di capire che la costruzione di misure avviene secondo tre metodi, completamente diversi. Uno è quello di Haar, imponendo l'invarianza per traslazioni. L'altro è quello di Caratheodory, per costruire le varie misure di Hausdorff, una roba più da geometria frattale. E infine c'è il metodo "dell'analisi funzionale", con le misure costruite come funzionali lineari positivi. Ognuno di questi metodi richiede ipotesi leggermente diverse.
Prima insistevo sul fatto che dobbiamo essere in uno spazio metrico perché avevo in mente la costruzione di Caratheodory.
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