Spazi normati compatti?
Ciao!
È possibile avere uno spazio normato compatto(per ricoprimenti) relativamente alla topologia indotta dalla norma?
Ho mostrato inizialmente che uno spazio metrico $(X,d)$ avente diametro infinito non può essere compatto; in genere, per qualche suo punto, uno spazio coincide con $bigcup_(n inNN)B(x,n)$[nota]$B(x,n)$ indica la palla aperta di centro $x$ e raggio $n$[/nota] da cui non è possibile estrarre alcun sottoricoprimento finito quando il diametro è infinito.
Consideriamo ora uno spazio normato $(X,norm(*))$ avente almeno un vettore $x$ con norma non nulla
quindi il diametro è infinito.
Sto delirando?
È possibile avere uno spazio normato compatto(per ricoprimenti) relativamente alla topologia indotta dalla norma?
Ho mostrato inizialmente che uno spazio metrico $(X,d)$ avente diametro infinito non può essere compatto; in genere, per qualche suo punto, uno spazio coincide con $bigcup_(n inNN)B(x,n)$[nota]$B(x,n)$ indica la palla aperta di centro $x$ e raggio $n$[/nota] da cui non è possibile estrarre alcun sottoricoprimento finito quando il diametro è infinito.
Consideriamo ora uno spazio normato $(X,norm(*))$ avente almeno un vettore $x$ con norma non nulla
$n norm(x)=norm(nx-0)leq s u p_((z,y) inX)norm(z-y)$ per ogni $n in NN$
quindi il diametro è infinito.
Sto delirando?
Risposte
No, su, è molto semplice. Fissa un vettore \(v\ne 0\); la successione \(\{nv\}_{n\in\mathbb N}\) non ha estratte convergenti. Non so cosa hai scritto ma davvero non vale la pena di soffermarsi troppo.
Nessuno spazio vettoriale $V$ su $RR$ o su $CC$ è compatto con la topologia reale, e il motivo è che contiene copie di $RR$ (che non è compatto: se $V$ fosse compatto, intersecheresti il sottoricoprimento finito di un $U_i$ che copre $V$ per ottenerne uno di $RR$).
In generale, qualsiasi campo normato $K$ che non abbia la norma banale (i.e. ogni elemento non nullo ha norma $1$) non è compatto, e per la stessa ragione che abbiamo dato per $RR$ un qualsasi spazio normato su $K$ non può essere compatto.
In generale, qualsiasi campo normato $K$ che non abbia la norma banale (i.e. ogni elemento non nullo ha norma $1$) non è compatto, e per la stessa ragione che abbiamo dato per $RR$ un qualsasi spazio normato su $K$ non può essere compatto.
Grazie ad entrambi.
@peppe
Non mi ci sono soffermato però mi aveva incuriosito la cosa.
Ancora non so se ci sia qualche relazione tra le due compattezze negli spazi normati, ho fatto questo passaggio un po’ più lungo proprio per questo. Sono stato molto sintetico
@fmnq
con “copie di $RR$” intendi sottospazi isomorfi a $RR^n$?
@peppe
Non mi ci sono soffermato però mi aveva incuriosito la cosa.
Ancora non so se ci sia qualche relazione tra le due compattezze negli spazi normati, ho fatto questo passaggio un po’ più lungo proprio per questo. Sono stato molto sintetico
@fmnq
con “copie di $RR$” intendi sottospazi isomorfi a $RR^n$?
"anto_zoolander":
con “copie di $RR$” intendi sottospazi isomorfi a $RR^n$?
Contiene delle rette; le rette non sono compatte.
"anto_zoolander":
Ancora non so se ci sia qualche relazione tra le due compattezze negli spazi normati
Ma come non lo sai. Gli spazi normati sono, in particolare, spazi metrici.
@peppe
Sto affrontando adesso la compattezza per ricoprimenti quindi devo vedere ancora alcuni risultati, ho dovuto stoppare topologia per dare un’altra materia
@fmnq
Perfetto grazie
edit da quanto hai scritto sembra che se uno spazio ne contiene uno non compatto allora lo spazio di partenza è non compatto, cosa che non mi sembra vera considerando un qualsiasi intervallo chiuso in $RR$ contente almeno due punti distinti.
Sto affrontando adesso la compattezza per ricoprimenti quindi devo vedere ancora alcuni risultati, ho dovuto stoppare topologia per dare un’altra materia
@fmnq
Perfetto grazie
edit da quanto hai scritto sembra che se uno spazio ne contiene uno non compatto allora lo spazio di partenza è non compatto, cosa che non mi sembra vera considerando un qualsiasi intervallo chiuso in $RR$ contente almeno due punti distinti.
"arnett":
Domanda: okay gli $mathbb{R}$-spazi e i $\mathbb{C}$-spazi. Ma non si riesce a trovare uno spazio (vettoriale) normato compatto neanche con casi banali? Penso a qualcosa tipo spazi vettoriali su campi finiti e/o con la norma banale.
In generale se specifichi una topologia sul campo, quella induce una topologia su tutti gli spazi vettoriali (che sono omeomorfi a un prodotto di copie del campo, ovviamente).
Ora, tutti gli spazi finiti sono compatti, a prescindere dalla topologia, quindi finché consideri spazi di dimensione finita su un campo finito, qualsiasi topologia li rende compatti.
Per dimensione infinita, o campi infiniti, prendere una topologia con pochi aperti è una buona soluzione intermedia, e del resto (ad esempio) la topologia di Zariski sui campi è banale per ovvi motivi. Bisogna prendere, più in generale, una qualche topologia di Stone diversa da quella di Zariski.
"anto_zoolander":
da quanto hai scritto sembra che se uno spazio ne contiene uno non compatto allora lo spazio di partenza è non compatto, cosa che non mi sembra vera considerando un qualsiasi intervallo chiuso in $RR$ contente almeno due punti distinti.
Le rette sono chiuse.
Ok ora non ho più alcun dubbio, grazie 
@anto
[ot]Beato te![/ot]
[ot]Beato te!
[/ot]
"anto_zoolander":
@peppe
Sto affrontando adesso la compattezza per ricoprimenti quindi devo vedere ancora alcuni risultati, ho dovuto stoppare topologia per dare un’altra materia
Ok. L'unica cosa a cui mi riferivo è che in uno spazio metrico la compattezza per ricoprimenti è equivalente a quella per successioni, che poi è "la compattezza dell'analisi", per intenderci.
Quanto al resto, gli spazi normati sono sempre o reali o complessi. Esistono generalizzazioni, in cui il campo degli scalari è un "campo topologico", ma non ne ho mai visto nessuna applicazione.
@alex
[ot]in sostanza ha usato il fatto che un sottospazio chiuso in un compatto è necessariamente compatto e che una retta vettoriale è omeomorfa(esiste una funzione continua e invertibile con continuità) a $RR$ che non è compatto; essendo la compattezza un invariante topologico si ottiene un sottospazio chiuso non compatto => spazio non compatto.[/ot]
@peppe
si avevo capito che alludessi a questo, sui libri di analisi ho visto spesso che in almeno un capitolo si mostra l'equivalenza tra le due cose. Per fare bene la compattezza ho aspettato di fare topologia, mi sono portato dietro questo handicap per un po'.
[ot]in sostanza ha usato il fatto che un sottospazio chiuso in un compatto è necessariamente compatto e che una retta vettoriale è omeomorfa(esiste una funzione continua e invertibile con continuità) a $RR$ che non è compatto; essendo la compattezza un invariante topologico si ottiene un sottospazio chiuso non compatto => spazio non compatto.[/ot]
@peppe
si avevo capito che alludessi a questo, sui libri di analisi ho visto spesso che in almeno un capitolo si mostra l'equivalenza tra le due cose. Per fare bene la compattezza ho aspettato di fare topologia, mi sono portato dietro questo handicap per un po'.
"arnett":
Sì, ho detto banali apposta, era una curiosità teorica, mi rendo conto che non sono spazi buoni per essere usati
Dipende cosa intendi per "buoni"!
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