Spazi \( L^p \)
Avrei una domanda sulla definizione degli spazi \( L^p \).
Innanzitutto riporto la definizione di integrale secondo Lebesgue
Sia \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \cup \{ \pm \infty \} \) una funzione misurabile
i) Diciamo che \( f \) è Lebesgue integrabile
Se \[ \int \left| f \right| < \infty \]
Definiamo allora \[ \int f = \int f^+ - \int f^- \]
L'insieme di queste funzioni integrabili è denotato \( L^1(\mathbb{R}) \) (lo chiamo 1.)
ii) Diciamo che \( f \) è Lebbesgue integrabile su \(E \) misurabile se \( f \chi_E \) è integrabile.
iii) Se \( \int f^+ \) e \( \int f^- \) sono entrambe non infinito definiamo
\[ \int f = \int f^+ - \int f^- \in \mathbb{R} \cup \{ \pm \infty \} \]
Piccolo dubbio il caso iii) si dice comunque che una funzione è Lebesgue integrabile oppure no?
Cioè ad esempio se \(f:= \chi_{[-1,\infty[} \) abbiamo che \( \int f^+ = \infty \) e \( \int f^- = 1 \) pertanto mi chiedo \( \chi_{[-1,\infty[} \) è Lebesgue integrabile ma non è \( L^1 \).
Secondariamente più in là nella teoria il prof mi definisce gli spazi \( L^p(a,b) \) con \( 1 \leq p < \infty \). Nel seguente modo
Siano \( - \infty \leq a < b \leq \infty \) e \( 1 \leq p < \infty \). Per \( f: (a,b) \to \mathbb{R} \cup \{ \pm \infty \} \) mesurabile definiamo
\[ \begin{Vmatrix} f \end{Vmatrix}_{L^p(a,b)} = \left( \int_a^b \left| f \right|^p \right)^{1/p} \]
E definiamo (lo chiamo 2.)
\[ L^p(a,b) = \{ f:(a,b) \to \mathbb{R} \cup \{ \pm \infty\} \ \text{misurabile} : \begin{Vmatrix} f \end{Vmatrix}_{L^p(a,b)} < \infty \} \]
Siccome vogliamo che \( \begin{Vmatrix} \cdot \end{Vmatrix}_{L^p(a,b)} \) sia una norma ma siccome
\( \begin{Vmatrix} f \end{Vmatrix}_{L^p(a,b)} = 0 \Leftrightarrow f = 0 \) quasi ovunque che non è equivalente a dire \( f = 0 \). Pertanto vediamo
\[ (L^p(a,b), \begin{Vmatrix} \cdot \end{Vmatrix}_{L^p(a,b)}) \] come lo spazio
\[ ( \{ f:(a,b) \to \mathbb{R} \cup \{ \pm \infty\} \ \text{misurabile} : \left| f \right|^p \in L^1(a,b) \}/ \sim, \begin{Vmatrix} \cdot \end{Vmatrix}_{L^p(a,b)}) \]
Dove \( f \sim g \) se e solo se \( f= g \) quasi ovunque.
Possiamo anche vedere
\[ G:= \{ f:(a,b) \to \mathbb{R} \cup \{ \pm \infty\} \ \text{misurabile} : \left| f \right|^p \in L^1(a,b) \} \] come un gruppo e \[ H:= \{ f \in G : f=0 \ \text{quasi ovunque} \} \unlhd G \]
E dunque \( L^p(a,b) = G/H \) (lo chiamo 3.)
Le mia domande sono le seguenti
Mi sembrano tre definizioni non consistenti... quella di 1. e 2. si! Ma 1. e 2. mi sembra diversa da 3.
Quindi cos'è \( L^p \) ??
Innanzitutto riporto la definizione di integrale secondo Lebesgue
Sia \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \cup \{ \pm \infty \} \) una funzione misurabile
i) Diciamo che \( f \) è Lebesgue integrabile
Se \[ \int \left| f \right| < \infty \]
Definiamo allora \[ \int f = \int f^+ - \int f^- \]
L'insieme di queste funzioni integrabili è denotato \( L^1(\mathbb{R}) \) (lo chiamo 1.)
ii) Diciamo che \( f \) è Lebbesgue integrabile su \(E \) misurabile se \( f \chi_E \) è integrabile.
iii) Se \( \int f^+ \) e \( \int f^- \) sono entrambe non infinito definiamo
\[ \int f = \int f^+ - \int f^- \in \mathbb{R} \cup \{ \pm \infty \} \]
Piccolo dubbio il caso iii) si dice comunque che una funzione è Lebesgue integrabile oppure no?
Cioè ad esempio se \(f:= \chi_{[-1,\infty[} \) abbiamo che \( \int f^+ = \infty \) e \( \int f^- = 1 \) pertanto mi chiedo \( \chi_{[-1,\infty[} \) è Lebesgue integrabile ma non è \( L^1 \).
Secondariamente più in là nella teoria il prof mi definisce gli spazi \( L^p(a,b) \) con \( 1 \leq p < \infty \). Nel seguente modo
Siano \( - \infty \leq a < b \leq \infty \) e \( 1 \leq p < \infty \). Per \( f: (a,b) \to \mathbb{R} \cup \{ \pm \infty \} \) mesurabile definiamo
\[ \begin{Vmatrix} f \end{Vmatrix}_{L^p(a,b)} = \left( \int_a^b \left| f \right|^p \right)^{1/p} \]
E definiamo (lo chiamo 2.)
\[ L^p(a,b) = \{ f:(a,b) \to \mathbb{R} \cup \{ \pm \infty\} \ \text{misurabile} : \begin{Vmatrix} f \end{Vmatrix}_{L^p(a,b)} < \infty \} \]
Siccome vogliamo che \( \begin{Vmatrix} \cdot \end{Vmatrix}_{L^p(a,b)} \) sia una norma ma siccome
\( \begin{Vmatrix} f \end{Vmatrix}_{L^p(a,b)} = 0 \Leftrightarrow f = 0 \) quasi ovunque che non è equivalente a dire \( f = 0 \). Pertanto vediamo
\[ (L^p(a,b), \begin{Vmatrix} \cdot \end{Vmatrix}_{L^p(a,b)}) \] come lo spazio
\[ ( \{ f:(a,b) \to \mathbb{R} \cup \{ \pm \infty\} \ \text{misurabile} : \left| f \right|^p \in L^1(a,b) \}/ \sim, \begin{Vmatrix} \cdot \end{Vmatrix}_{L^p(a,b)}) \]
Dove \( f \sim g \) se e solo se \( f= g \) quasi ovunque.
Possiamo anche vedere
\[ G:= \{ f:(a,b) \to \mathbb{R} \cup \{ \pm \infty\} \ \text{misurabile} : \left| f \right|^p \in L^1(a,b) \} \] come un gruppo e \[ H:= \{ f \in G : f=0 \ \text{quasi ovunque} \} \unlhd G \]
E dunque \( L^p(a,b) = G/H \) (lo chiamo 3.)
Le mia domande sono le seguenti
Mi sembrano tre definizioni non consistenti... quella di 1. e 2. si! Ma 1. e 2. mi sembra diversa da 3.
Quindi cos'è \( L^p \) ??
Risposte
Intanto, \(\int|f|<\infty\) è ESATTAMENTE la stessa cosa che \(\int f^+<\infty\) e \(\int f^-<\infty\). Infatti, \(\int |f|=\int f^++\int f^-\). Quindi, con la tua notazione, dire "Lebesgue integrabile" è esattamente la stessa cosa che dire \(L^1\).
Sul resto, non ti ci devi fissare troppo, quella relazione di equivalenza in pratica non è tanto importante. In probabilità, si che è importante, ma in molti ambiti dell'analisi non troppo. E quel "gruppo" che hai scritto alla fine non so da dove lo hai tirato fuori, ma io lo metterei via, non c'entra proprio nulla.
Sul resto, non ti ci devi fissare troppo, quella relazione di equivalenza in pratica non è tanto importante. In probabilità, si che è importante, ma in molti ambiti dell'analisi non troppo. E quel "gruppo" che hai scritto alla fine non so da dove lo hai tirato fuori, ma io lo metterei via, non c'entra proprio nulla.
"dissonance":
Intanto, \( \int|f|<\infty \) è ESATTAMENTE la stessa cosa che \( \int f^+<\infty \) e \( \int f^-<\infty \). Infatti, \( \int |f|=\int f^++\int f^- \). Quindi, con la tua notazione, dire "Lebesgue integrabile" è esattamente la stessa cosa che dire \( L^1 \).
Guarda è la definizione di integrale di Lebesgue che ci ha dato e nella definizione iii) non è equivalente alla definizione i) tant'è che negli esempi che ci ha fatto il prof c'è appunto
\( f= \chi_{[-1,\infty]} \) e \( g = \chi_{[0,\infty] } - \chi_{]-\infty,0] } \)
tant' è che \[ \int \left| f \right| = \int \left| g \right| = + \infty \] quindi sia \( f \) che \(g \) \( \not\in L^1 \) ma l'integrale di \(g \) non è definito poiché \[ \int g^+ = + \infty \] e \[ \int g^- = +\infty \] mentre l'integrale di \(f \) vale \[ \int f = + \infty \]
siccome \[ \int f^+ = + \infty \] e \[ \int f^-= 1\]
Mi chiedevo dunque se \( f \) è Lebesgue integrabile nonostante non sia \( L^1 \). Oppure è solo definito.
"dissonance":
Sul resto, non ti ci devi fissare troppo, quella relazione di equivalenza in pratica non è tanto importante. In probabilità, si che è importante, ma in molti ambiti dell'analisi non troppo. E quel "gruppo" che hai scritto alla fine non so da dove lo hai tirato fuori, ma io lo metterei via, non c'entra proprio nulla.
Beh il prof lo ha tirato fuori e anzi ha detto che è uno dei concetti più importanti del corso, quindi dovrei proprio capirlo!
Tant'è che nella dimostrazione della disuguaglianza di Jensen con \( \varphi : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) convessa e \( f \in L^1(a,b) \)
\[ \varphi \left( \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) dx \right) \leq \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} \varphi(f(x)) dx \]
siccome \( f :\mathbb{R} \to \mathbb{R} \cup \{ \pm \infty \} \)\) può prendere il valore infinito poiché è \( L^1 \), ma è finito quasi ovunque, e rischio di avere dei problemi quando scrivo \( \varphi(f(x)) \), pertanto sceglie un rappresentante della classe di equivalenza di \( G/H \) in cui \( f \) non prende il valore infinito.
E cambiando rappresentante non cambia il risultato siccome per dare un valore di \( \int \varphi(f(x)) dx \) cambiando il rappresentante di \(f \) lo cambio solo in un insieme di misura nulla.
In genere se dici "Lebesgue integrabile" l'integrale deve essere finito. Quegli esempi mostrano che si possono avere funzioni con integrale infinito, tutto qui. Ma non nello spazio \(L^1\).
Quanto al "quasi ovunque", qual è la domanda? Comunque in genere gli analisti non ragionano troppo in termini di quelle classi di equivalenza. C'è un bel commento al riguardo sul Rudin, "Real and complex analysis" (terza edizione, pagina 29). Tu pensa a \(f\in L^1\) come ad una funzione "standard", ma tenendo presente che deve sempre essere possibile modificarla su un insieme di misura nulla.
Quanto al "quasi ovunque", qual è la domanda? Comunque in genere gli analisti non ragionano troppo in termini di quelle classi di equivalenza. C'è un bel commento al riguardo sul Rudin, "Real and complex analysis" (terza edizione, pagina 29). Tu pensa a \(f\in L^1\) come ad una funzione "standard", ma tenendo presente che deve sempre essere possibile modificarla su un insieme di misura nulla.
Siccome il prof dice
\[ L^p (a,b):= \{ f: (a,b) \to \mathbb{R} \cup \{ \pm \infty \} \ \text{misruabile} : \begin{Vmatrix} f \end{Vmatrix}_{L^p} < \infty \} \]
e poi
\[ L^p (a,b) = G/H \]
e visto che
\[ G/H \neq \{ f: (a,b) \to \mathbb{R} \cup \{\pm \infty \} \ \text{misruabile} : \begin{Vmatrix} f \end{Vmatrix}_{L^p} < \infty \} \]
Mi chiedevo se il significato di \(L^p \) cambia dal contesto, se lo vedo come spazio vettoriale o come spazio vettoriale munito di una norma, oppure cosa?
\[ L^p (a,b):= \{ f: (a,b) \to \mathbb{R} \cup \{ \pm \infty \} \ \text{misruabile} : \begin{Vmatrix} f \end{Vmatrix}_{L^p} < \infty \} \]
e poi
\[ L^p (a,b) = G/H \]
e visto che
\[ G/H \neq \{ f: (a,b) \to \mathbb{R} \cup \{\pm \infty \} \ \text{misruabile} : \begin{Vmatrix} f \end{Vmatrix}_{L^p} < \infty \} \]
Mi chiedevo se il significato di \(L^p \) cambia dal contesto, se lo vedo come spazio vettoriale o come spazio vettoriale munito di una norma, oppure cosa?
Ho capito, ti riferivi al gruppo per via del quoziente. Ma non ti fissare troppo sulla natura "algebrica" di questa costruzione, in senso stretto è vero che si tratta di un quoziente, ma quel quoziente non è tanto importante come in altri contesti. Gli elementi di \(L^p\) si pensano come funzioni, anche se in realtà sono classi di equivalenza.
Quanto alla struttura, \(L^p\) è uno spazio di Banach (spazio vettoriale dotato di una norma e completo come spazio metrico).
Quanto alla struttura, \(L^p\) è uno spazio di Banach (spazio vettoriale dotato di una norma e completo come spazio metrico).
"dissonance":
Ho capito, ti riferivi al gruppo per via del quoziente. Ma non ti fissare troppo sulla natura "algebrica" di questa costruzione, in senso stretto è vero che si tratta di un quoziente, ma quel quoziente non è tanto importante come in altri contesti. Gli elementi di \(L^p\) si pensano come funzioni, anche se in realtà sono classi di equivalenza.
Quanto alla struttura, \(L^p\) è uno spazio di Banach (spazio vettoriale dotato di una norma e completo come spazio metrico).
Ma ad esempio è normato solo se lo considero come \( G/H \) mentre se lo considero come \( \{ f: (a,b) \to \mathbb{R} \cup \{ \pm \infty \} \ \text{misruabile} : \begin{Vmatrix} f \end{Vmatrix}_{L^p} < \infty \} \) è seminormato. Se considero \( L^p \) come normato mi rifaccio a \( L^p = G/H \) ?
Il mio problema è che chiama \( L^p \) con due oggetti diversi! E non capisco quale dei due oggetti è!
Inoltre il problema di considerare \( L^p \) come normato è che la funzione evaluazione non è ben definita, infatti
\[ \operatorname{ev}_{x_0} : G/H \to \mathbb{R} \cup \{ \pm \infty \} \] definita da
\[ f + H \mapsto f(x_0) \]
non è ben definita perché \( \{ x_0 \} \) ha misura nulla e dunque non posso "assegnare un valore" alle mie funzioni in \( L^p \), o sbaglio? O almeno così ha detto il prof, ma poi allora come si fa ad assegnare un valore ad un integrale?
edit 2: o come si fa a parlare di convergenza puntuale di funzioni dentro \(L^p \) se non posso assegnare un valore perché non ben definito? Scelgo arbitrariamente l'unica funzione continua nella mia classe di equivalenza per farlo?
Edit: Ho capito che non devo impazzire con questa cosa e in soldoni ragiono come se fossero funzioni, però sostanzialmente il mio problema è che mi dice \( L^p = A \) ed \( L^p = B \) solo che \( A \neq B \) e se \( L^p = A \) è normato mentre se \( L^p = B \) non è normato. Quindi mi chiedo \( L^p \) è uguale a cosa? \( A \) oppure \(B \) ??
"3m0o":
[...]
Edit: Ho capito che non devo impazzire con questa cosa e in soldoni ragiono come se fossero funzioni, però sostanzialmente il mio problema è che mi dice \( L^p = A \) ed \( L^p = B \) solo che \( A \neq B \) e se \( L^p = A \) è normato mentre se \( L^p = B \) non è normato. Quindi mi chiedo \( L^p \) è uguale a cosa? \( A \) oppure \( B \) ??
Tipicamente si chiamano uno $\mathcal{L}^p$ e uno $L^p$ con $ L^p = \mathcal{L}^p / tilde $. Quando si parla di $L^p$ si parla sempre e solo dello spazio di Banach \( (L^p, \| \cdot \|_p) \).
No, l'operatore di valutazione non è ben definito su $L^p$ (questa cosa mi ha tra l'altro portato recentemente ad una svista incredibile in una dimostrazione, ma questa è un'altra storia...).
Quando dici $f \in L^p$ e poi dici $f(4) = 18$, si sottintende "sia $[f] \in L^p$ con $f(4) = 18$ ove $f \in \mathcal{L}^p$". Cioè stai scegliendo un rappresentante della classe di equivalenza $[f]$. Ma è bruttino ripeterlo, quindi si sottintende.
"3m0o":
[...] ma poi allora come si fa ad assegnare un valore ad un integrale?
[...]
Questo penso tu ci possa arrivare molto velocemente.
"3m0o":
o come si fa a parlare di convergenza puntuale di funzioni dentro Lp se non posso assegnare un valore perché non ben definito?
Lo scriviamo oggi e mai più: quando uno dice "siano \( \{ f_n \}_{n \ge 1} \subset L^p \), $f \in L^p$ tali che $f_n \to f$ quasi ovunque" intende esattamente "siano \( \{ f_n \}_{n \ge 1} \subset L^p \), $f \in L^p$ e siano $g_n, g \in \mathcal{L}^p$ tali che $g_n \in f_n$ per ogni $n \ge 1$ e $g \in f$. Allora esiste un insieme di misura nulla al di fuori del quale $g_n(x) \to g(x)$."
Ma questo dipende dalla scelta delle $g_n$? No. E allora tanto vale dirlo in modo più breve!
"3m0o":
Scelgo arbitrariamente l'unica funzione continua nella mia classe di equivalenza per farlo?
Perché, ce ne è sempre una?
Okay dovrei aver capito, quindi la notazione del mio prof è la stessa per due spazi differenti. Grazie
Quindi formalmente quando calcolo un integrale di una funzione in \( L^p \) scelgo un rappresentante che può essere valutato e siccome differisce solo su un insieme di misura nulla su \( \mathcal{L}^p \) dalla mia funzione il valore dell'integrale non cambia?
Perché, ce ne è sempre una?[/quote]
Non so, ma il prof ha detto "[...] generalmente, quando abbiamo una funzione \(L^p \) e vogliamo fare il legame con un fenomeno fisico reale, scegliamo la funzione continua nella sua classe di equivalenza, che è unica, per poterne fare la valutazione[...]"
Ed effettivamente non ha detto che esiste sempre una.
Quindi formalmente quando calcolo un integrale di una funzione in \( L^p \) scelgo un rappresentante che può essere valutato e siccome differisce solo su un insieme di misura nulla su \( \mathcal{L}^p \) dalla mia funzione il valore dell'integrale non cambia?
"Bremen000":
[quote="3m0o"]Scelgo arbitrariamente l'unica funzione continua nella mia classe di equivalenza per farlo?
Perché, ce ne è sempre una?[/quote]
Non so, ma il prof ha detto "[...] generalmente, quando abbiamo una funzione \(L^p \) e vogliamo fare il legame con un fenomeno fisico reale, scegliamo la funzione continua nella sua classe di equivalenza, che è unica, per poterne fare la valutazione[...]"
Ed effettivamente non ha detto che esiste sempre una.
"3m0o":
[...] scelgo un rappresentante che può essere valutato e siccome differisce solo su un insieme di misura nulla su \( \mathcal{L}^p \) dalla mia funzione il valore dell'integrale non cambia? [...]
Sì. Siccome ti piace quella cosa con la relazione di equivalenza: la mappa \[ \mathcal{L}^p \ni f \mapsto \int_X f d \mu \] passa al quoziente e quindi è ben definita la mappa
\[ L^p \ni f \mapsto \int_X fd \mu \] che ovviamente indichiamo con lo stesso simbolo perché non ci vogliamo male.
"3m0o":
[...] il prof ha detto "[...] generalmente, quando abbiamo una funzione \( L^p \) e vogliamo fare il legame con un fenomeno fisico reale, scegliamo la funzione continua nella sua classe di equivalenza, che è unica, per poterne fare la valutazione[...]"
Ed effettivamente non ha detto che esiste sempre una.[...]
Se ti va, dimostra: Siano $f, g : X \to \mathbb{R}$ misurabili e uguali quasi ovunque. Se sono continue allora coincidono ovunque. Dedurne che se $f: X \to \mathbb{R}$ è misurabile ed esiste $g : X \to \mathbb{R}$ continua che coincide quasi ovunque con $f$, allora è unica. Esibire un esempio di funzione misurabile per cui non esiste alcuna funzione continua con cui coincide quasi ovunque.
P.S. : mi infastidisce moltissimo che stiate studiando tutto su $\mathbb{R}$ e non in un generico spazio di misura. Perché fate così? Cosa studi?
Capito per la mappa che passa al quoziente, grazie 
Ok, ci provo.
Perché questo non è il corso di misura ed integrazione
È il corso che si chiama Analisi IV e il programma è integrazione e misura di Lebesgue su \( \mathbb{R} \) e analisi di Fourier.
L'anno prossimo abbiamo il corso di misura ed integrazione in cui generalizziamo.
Ps: matematica.
"Bremen000":
Se ti va, dimostra: Siano $f, g : X \to \mathbb{R}$ misurabili e uguali quasi ovunque. Se sono continue allora coincidono ovunque. Dedurne che se $f: X \to \mathbb{R}$ è misurabile ed esiste $g : X \to \mathbb{R}$ continua che coincide quasi ovunque con $f$, allora è unica. Esibire un esempio di funzione misurabile per cui non esiste alcuna funzione continua con cui coincide quasi ovunque.
Ok, ci provo.
"Bremen000":
P.S. : mi infastidisce moltissimo che stiate studiando tutto su $\mathbb{R}$ e non in un generico spazio di misura. Perché fate così? Cosa studi?
Perché questo non è il corso di misura ed integrazione
È il corso che si chiama Analisi IV e il programma è integrazione e misura di Lebesgue su \( \mathbb{R} \) e analisi di Fourier.
L'anno prossimo abbiamo il corso di misura ed integrazione in cui generalizziamo.
Ps: matematica.
Sia \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) continua e \( f= 0 \) quasi ovunque. E sia \( N = \{ x \in \mathbb{R} : f(x) \neq 0 \} \), supponiamo per assurdo che \( N \neq \emptyset \), per definizione abbiamo \( \operatorname{mes}(N) = 0 \). Abbiamo che \( \{0\} \) è chiuso in \( \mathbb{R} \) e dunque \( \mathbb{R} \setminus \{ 0 \} \) è aperto. Inoltre siccome \( f \) è continua abbiamo che \( f^{-1}(\mathbb{R} \setminus \{0\} ) = N \) è aperto, e dunque esiste un ricoprimento \((I_j)_j \) al più numerabile di intervalli disgiunti di \( N \), pertanto abbiamo che
\[ 0 < \operatorname{mes}\left( \bigcup_{j} I_j \right) \overset{\sigma-\text{additività}}{=} \sum_{j} \operatorname{mes}(I_j) = \operatorname{mes}(N) \]
Assurdo!
Siano ora \( f,g: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) continue e \(f=g \) quasi ovunque. Allora \( f-g \) è continua e \( f- g = 0 \) quasi ovunque.
Pertanto se esistono due funzioni \( g_1, g_2 \) continue tale che \( f= g_1 \) e \( f= g_2 \) quasi ovunque significa che \( g_1 = g_2 \) quasi ovunque e pertanto \( g_1 = g_2 \).
Per il contro esempio ci devo pensare.
Mi chiedo però di insiemi con misura zero ne esistono a priori di tutti i tipi (aperti, chiusi, ne aperti ne chiusi, etc...) oppure sono caratterizzabili?
\[ 0 < \operatorname{mes}\left( \bigcup_{j} I_j \right) \overset{\sigma-\text{additività}}{=} \sum_{j} \operatorname{mes}(I_j) = \operatorname{mes}(N) \]
Assurdo!
Siano ora \( f,g: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) continue e \(f=g \) quasi ovunque. Allora \( f-g \) è continua e \( f- g = 0 \) quasi ovunque.
Pertanto se esistono due funzioni \( g_1, g_2 \) continue tale che \( f= g_1 \) e \( f= g_2 \) quasi ovunque significa che \( g_1 = g_2 \) quasi ovunque e pertanto \( g_1 = g_2 \).
Per il contro esempio ci devo pensare.
Mi chiedo però di insiemi con misura zero ne esistono a priori di tutti i tipi (aperti, chiusi, ne aperti ne chiusi, etc...) oppure sono caratterizzabili?
[ot]
Conoscendo il corso che 3m0o sta seguendo non c'è nessun pericolo. È un corso di matematica di livello molto alto.[/ot]
"Bremen000":
Perché fate così? Cosa studi?
Conoscendo il corso che 3m0o sta seguendo non c'è nessun pericolo. È un corso di matematica di livello molto alto.[/ot]
Per il controesempio
\( \chi_{(a,b)} \) dove \( -\infty < a < b < + \infty \). Infatti se esistesse una funzione continua \( f = \chi_{(a,b)} \) allora avremmo \( f= 0 \) quasi ovunque oppure \( f=1 \) quasi ovunque. E quindi avremmo che \( \operatorname{mes}((a,b))=0 \) oppure \( \operatorname{mes}(\mathbb{R} \setminus [a,b]) = 0 \) ed entrambe le affermazioni sono false. Dunque non esiste una tale \(f \).
\( \chi_{(a,b)} \) dove \( -\infty < a < b < + \infty \). Infatti se esistesse una funzione continua \( f = \chi_{(a,b)} \) allora avremmo \( f= 0 \) quasi ovunque oppure \( f=1 \) quasi ovunque. E quindi avremmo che \( \operatorname{mes}((a,b))=0 \) oppure \( \operatorname{mes}(\mathbb{R} \setminus [a,b]) = 0 \) ed entrambe le affermazioni sono false. Dunque non esiste una tale \(f \).
@ 3m0o e dissonance: per il corso, capisco! Ho visto che 3m0o se ne capisce anche di cose di analisi complessa che per me sono arabo! D'altro canto mi sembra una faticaccia inutile fare queste cose su $\mathbb{R}$ per poi rifarle identiche in un altro corso l'anno dopo; alla fine, se non fai derivate, $\mathbb{R}$ non ha niente di speciale in TdM! Ero solo curioso. Poi, questa mia critica probabilmente si scontra con esigenze didattiche che non capisco appieno.
Per gli "esercizi", perfetto! Una cosa che poi riguarda anche il tuo PS. Gli insiemi aperti (non vuoti) hanno sempre misura di Lebesgue positiva!! E' molto più immediato: se $\emptyset \ne A \subset \mathbb{R}$ ed è aperto, allora contiene almeno un $x$ e, essendo aperto, tutto un suo intorno $(x-\epsilon, x+ \epsilon)$ quindi
\[ \mu(A) \ge \mu((x-\epsilon, x+\epsilon)) = 2\epsilon >0. \]
Quindi, a parte il vuoto, non esistono aperti di misura nulla. Ci sono molti chiusi (e anche compatti) di misura nulla (tutti i singoletti) e anche insiemi né aperti né chiusi di misura nulla. Sai trovare un esempio?
Oh, tutto questo vale ovviamente per la misura di Lebesgue! In generale non è vero!
Per gli "esercizi", perfetto! Una cosa che poi riguarda anche il tuo PS. Gli insiemi aperti (non vuoti) hanno sempre misura di Lebesgue positiva!! E' molto più immediato: se $\emptyset \ne A \subset \mathbb{R}$ ed è aperto, allora contiene almeno un $x$ e, essendo aperto, tutto un suo intorno $(x-\epsilon, x+ \epsilon)$ quindi
\[ \mu(A) \ge \mu((x-\epsilon, x+\epsilon)) = 2\epsilon >0. \]
Quindi, a parte il vuoto, non esistono aperti di misura nulla. Ci sono molti chiusi (e anche compatti) di misura nulla (tutti i singoletti) e anche insiemi né aperti né chiusi di misura nulla. Sai trovare un esempio?
Oh, tutto questo vale ovviamente per la misura di Lebesgue! In generale non è vero!
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