Spazi di Hilbert riflessivi.
Dimostra che tutti gli spazi Hilbertiani sono riflessivi.
Le soluzioni dicono quanto segue, ma io ho un dubbio. Secondo me la sua applicazione non è ben definita. Ma probabilmente sono io a fare confusione.
Sia dunque \( H \) uno spazio di Hilbert su \( \mathbb{F} = \mathbb{R} \) oppure \( \mathbb{C} \) e sia l'applicazione \( T : H \to H^{\ast} \) tale che \( (Ta)(x)= \left< x, a \right> \) per ogni \( x \in H \) che è una biiezione che soddisfa \( \begin{Vmatrix} Ta \end{Vmatrix}_{H^{\ast}} = \begin{Vmatrix} a \end{Vmatrix}_{H} \), per tutti gli \( a \in H \) (grazie al Teorema di rappresentazione di Riesz che ci assicura l'esistenza e l'unicità di un tale \(a\)).
Quando \( \mathbb{F} = \mathbb{R} \) l'operatore \( T \) è lineare, quando \( \mathbb{F} = \mathbb{C} \) abbiamo che \( T(\lambda a) = \overline{\lambda} T(a) \).
etc..
L'idea della dimostrazione è che mostra che l'iniezione canonica \( J : H \to H^{\ast \ast} \) è suriettivo dimostrando che per ogni \( \phi \in H^{\ast \ast} \) (grazie ancora a Riesz)
\[ \phi(g) = g(T^{-1} f) \]
e dunque \( T^{-1} f \in H \) è tale che \( J ( T^{-1} f ) (g) = \phi(g) = g( T^{-1} f ) \) e quindi \( J \) è suriettivo quindi \(H\) riflessivo.
La mia domanda è, se \( \mathbb{F}=\mathbb{C} \) abbiamo che \( T \) non è lineare, questo non è un problema?
Le soluzioni dicono quanto segue, ma io ho un dubbio. Secondo me la sua applicazione non è ben definita. Ma probabilmente sono io a fare confusione.
Sia dunque \( H \) uno spazio di Hilbert su \( \mathbb{F} = \mathbb{R} \) oppure \( \mathbb{C} \) e sia l'applicazione \( T : H \to H^{\ast} \) tale che \( (Ta)(x)= \left< x, a \right> \) per ogni \( x \in H \) che è una biiezione che soddisfa \( \begin{Vmatrix} Ta \end{Vmatrix}_{H^{\ast}} = \begin{Vmatrix} a \end{Vmatrix}_{H} \), per tutti gli \( a \in H \) (grazie al Teorema di rappresentazione di Riesz che ci assicura l'esistenza e l'unicità di un tale \(a\)).
Quando \( \mathbb{F} = \mathbb{R} \) l'operatore \( T \) è lineare, quando \( \mathbb{F} = \mathbb{C} \) abbiamo che \( T(\lambda a) = \overline{\lambda} T(a) \).
etc..
L'idea della dimostrazione è che mostra che l'iniezione canonica \( J : H \to H^{\ast \ast} \) è suriettivo dimostrando che per ogni \( \phi \in H^{\ast \ast} \) (grazie ancora a Riesz)
\[ \phi(g) = g(T^{-1} f) \]
e dunque \( T^{-1} f \in H \) è tale che \( J ( T^{-1} f ) (g) = \phi(g) = g( T^{-1} f ) \) e quindi \( J \) è suriettivo quindi \(H\) riflessivo.
La mia domanda è, se \( \mathbb{F}=\mathbb{C} \) abbiamo che \( T \) non è lineare, questo non è un problema?
Risposte
\( T \) è antilineare. Uno spazio di Hilbert su \( \mathbb{C} \) è isometricamente isomorfo al suo antiduale, mentre è isometricamente antiisomorfo (isomorfismo antilineare) al suo duale. Vedi anche qui: https://en.wikipedia.org/wiki/Fundament ... ert_spaces
Grazie mille, e buon natale 
Ho capito la mia confusione comunque. Siccome \( T : H \to H^{\ast} \) richiede che \( Ta \) sia lineare e lo è. Io facevo confusione che \(T\) non era lineare (antilineare infatti) e quindi dicevo come può essere in \( H^{\ast} \). Invece è \(Ta \) a dover essere lineare ma "in \(x \in H \)", e lo è! Infatti \( (Ta) \in \mathcal{L}(H,\mathbb{F}) = H^{\ast} \) e \( (Ta)(\lambda x + y) = \lambda (Ta) x + (Ta) y \)
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