Sommabilità di una funzione continua su un compatto
Ogni funzione continua su un compatto $KsubeRR^n$ è $L^n$-sommabile.
Allora intanto mostro che gli aperti di $RR^n$ sono misurabili. Se prendo la topologia euclidea $(RR^n,\tau_e)$ questa coincide con la topologia prodotto $(RR^pxxRR^(n-p), \tau_(pro d.))$ con $1<=p<=n-1$. Perciò ogni aperto di $RR^n$ si può scrivere come unione di rettangoli di $RR^pxxRR^(n-p)$, ma siccome quest'ultimi sono misurabili allora ogni aperto di $ RR^n $ è misurabile. Quindi abbiamo anche che i chiusi sono misurabili e in particolari i compatti (chiusi e limitati). Ora poichè i compatti sono limitati $ AAx,yinK $ tale che $ ||x-y||_E<=l $. Se prendo il cubo $C$ di lato $l$ si ha che $ KsubeC $ e quindi per monotonia $ L^n(K)<=L^n(C)=l^n<+infty $. Infine se $f$ è continua su $K$ per teorema di Weiestrass $ su p_{K} f $ e $ i nf_{K} f $ sono limitati (e coicidono con il massimo e minimo).
Posto $ \int_{K}|f| dL^n=i nf{S(|f|,sigma)|sigmain\Omega(K)} $. Presa $sigma={A_i |i=1,...,n}$ una scomposizione di $K$, abbiamo che $S(|f|,sigma)=\sum_{i=1}^(n) su p_(A_i)|f|*L^n(A_i)$. Siccome vale che $A_isubeK$ e $s up_K|f|=max{|i nf_K f|, |su p_K f|}$, allora $L^n(A_i)<+infty$ e $s up_(A_i)|f|<+infty$, perciò $S(|f|,sigma)$ (qualunque sia $sigma$) è finito e quindi $ \int_{K}|f| dL^n$ è finito, da cui $f$ sommabile.
Durante questa mia dimostrazione mi è sorto un dubbio, posso effettivamente supporre che ogni scomposizione di $K$ sia finita, ovvero $i<+infty$? Perchè se esiste una scomposizione di $K$ infinita allora la somma superiore relativa a questa scomposizione sarebbe $+infty$ perchè sarebbe la somma di infiniti addendi (positivi e forse alcuni nulli)...
Allora intanto mostro che gli aperti di $RR^n$ sono misurabili. Se prendo la topologia euclidea $(RR^n,\tau_e)$ questa coincide con la topologia prodotto $(RR^pxxRR^(n-p), \tau_(pro d.))$ con $1<=p<=n-1$. Perciò ogni aperto di $RR^n$ si può scrivere come unione di rettangoli di $RR^pxxRR^(n-p)$, ma siccome quest'ultimi sono misurabili allora ogni aperto di $ RR^n $ è misurabile. Quindi abbiamo anche che i chiusi sono misurabili e in particolari i compatti (chiusi e limitati). Ora poichè i compatti sono limitati $ AAx,yinK $ tale che $ ||x-y||_E<=l $. Se prendo il cubo $C$ di lato $l$ si ha che $ KsubeC $ e quindi per monotonia $ L^n(K)<=L^n(C)=l^n<+infty $. Infine se $f$ è continua su $K$ per teorema di Weiestrass $ su p_{K} f $ e $ i nf_{K} f $ sono limitati (e coicidono con il massimo e minimo).
Posto $ \int_{K}|f| dL^n=i nf{S(|f|,sigma)|sigmain\Omega(K)} $. Presa $sigma={A_i |i=1,...,n}$ una scomposizione di $K$, abbiamo che $S(|f|,sigma)=\sum_{i=1}^(n) su p_(A_i)|f|*L^n(A_i)$. Siccome vale che $A_isubeK$ e $s up_K|f|=max{|i nf_K f|, |su p_K f|}$, allora $L^n(A_i)<+infty$ e $s up_(A_i)|f|<+infty$, perciò $S(|f|,sigma)$ (qualunque sia $sigma$) è finito e quindi $ \int_{K}|f| dL^n$ è finito, da cui $f$ sommabile.
Durante questa mia dimostrazione mi è sorto un dubbio, posso effettivamente supporre che ogni scomposizione di $K$ sia finita, ovvero $i<+infty$? Perchè se esiste una scomposizione di $K$ infinita allora la somma superiore relativa a questa scomposizione sarebbe $+infty$ perchè sarebbe la somma di infiniti addendi (positivi e forse alcuni nulli)...
Risposte
Scusa ma ho capito poco della tua dimostrazione 
perciò? che proprietà usi?
comunque le affermazioni che fai sono vere.
Ma che criterio di integrabilità usi? Dai per buono che le funzioni continue sono misurabili? (a quel punto l'integrabilità mi sembra immediata). Magari quello che dici è giusto e sono io che non capisco perché ho delle definizioni diverse.
Tieni presente che le funzioni continue sui compatti sono anche Riemann integrabili (e quindi puoi usare suddivisioni finite - ma non so se c'entra con la tua domanda).
"andreadel1988":
Ogni funzione continua su un compatto $KsubeRR^n$ è $L^n$-sommabile.
Allora intanto mostro che gli aperti di $RR^n$ sono misurabili. Se prendo la topologia euclidea $(RR^n,\tau_e)$ questa coincide con la topologia prodotto $(RR^pxxRR^(n-p), \tau_(pro d.))$ con $1<=p<=n-1$. Perciò ogni aperto di $RR^n$ si può scrivere come unione di rettangoli di $RR^pxxRR^(n-p)$,
perciò? che proprietà usi?
"andreadel1988":
ma siccome quest'ultimi sono misurabili allora ogni aperto di $ RR^n $ è misurabile. Quindi abbiamo anche che i chiusi sono misurabili e in particolari i compatti (chiusi e limitati).
comunque le affermazioni che fai sono vere.
"andreadel1988":
Ora poichè i compatti sono limitati $ AAx,yinK $ tale che $ ||x-y||_E<=l $. Se prendo il cubo $C$ di lato $l$ si ha che $ KsubeC $ e quindi per monotonia $ L^n(K)<=L^n(C)=l^n<+infty $. Infine se $f$ è continua su $K$ per teorema di Weiestrass $ su p_{K} f $ e $ i nf_{K} f $ sono limitati (e coicidono con il massimo e minimo).
Posto $ \int_{K}|f| dL^n=i nf{S(|f|,sigma)|sigmain\Omega(K)} $. Presa $sigma={A_i |i=1,...,n}$ una scomposizione di $K$, abbiamo che $S(|f|,sigma)=\sum_{i=1}^(n) su p_(A_i)|f|*L^n(A_i)$. Siccome vale che $A_isubeK$ e $s up_K|f|=max{|i nf_K f|, |su p_K f|}$, allora $L^n(A_i)<+infty$ e $s up_(A_i)|f|<+infty$, perciò $S(|f|,sigma)$ (qualunque sia $sigma$) è finito e quindi $ \int_{K}|f| dL^n$ è finito, da cui $f$ sommabile.
Durante questa mia dimostrazione mi è sorto un dubbio, posso effettivamente supporre che ogni scomposizione di $K$ sia finita, ovvero $i<+infty$? Perchè se esiste una scomposizione di $K$ infinita allora la somma superiore relativa a questa scomposizione sarebbe $+infty$ perchè sarebbe la somma di infiniti addendi (positivi e forse alcuni nulli)...
Ma che criterio di integrabilità usi? Dai per buono che le funzioni continue sono misurabili? (a quel punto l'integrabilità mi sembra immediata). Magari quello che dici è giusto e sono io che non capisco perché ho delle definizioni diverse.
Tieni presente che le funzioni continue sui compatti sono anche Riemann integrabili (e quindi puoi usare suddivisioni finite - ma non so se c'entra con la tua domanda).
"ViciousGoblin":
Scusa ma ho capito poco della tua dimostrazione
[quote="andreadel1988"]Ogni funzione continua su un compatto $KsubeRR^n$ è $L^n$-sommabile.
Allora intanto mostro che gli aperti di $RR^n$ sono misurabili. Se prendo la topologia euclidea $(RR^n,\tau_e)$ questa coincide con la topologia prodotto $(RR^pxxRR^(n-p), \tau_(pro d.))$ con $1<=p<=n-1$. Perciò ogni aperto di $RR^n$ si può scrivere come unione di rettangoli di $RR^pxxRR^(n-p)$,
perciò? che proprietà usi?
[/quote]
Mi serviva per dimostrare che i compatti hanno $L^n$-misura finita
"ViciousGoblin":
[quote="andreadel1988"]
Ora poichè i compatti sono limitati $ AAx,yinK $ tale che $ ||x-y||_E<=l $. Se prendo il cubo $C$ di lato $l$ si ha che $ KsubeC $ e quindi per monotonia $ L^n(K)<=L^n(C)=l^n<+infty $. Infine se $f$ è continua su $K$ per teorema di Weiestrass $ su p_{K} f $ e $ i nf_{K} f $ sono limitati (e coicidono con il massimo e minimo).
Posto $ \int_{K}|f| dL^n=i nf{S(|f|,sigma)|sigmain\Omega(K)} $. Presa $sigma={A_i |i=1,...,n}$ una scomposizione di $K$, abbiamo che $S(|f|,sigma)=\sum_{i=1}^(n) su p_(A_i)|f|*L^n(A_i)$. Siccome vale che $A_isubeK$ e $s up_K|f|=max{|i nf_K f|, |su p_K f|}$, allora $L^n(A_i)<+infty$ e $s up_(A_i)|f|<+infty$, perciò $S(|f|,sigma)$ (qualunque sia $sigma$) è finito e quindi $ \int_{K}|f| dL^n$ è finito, da cui $f$ sommabile.
Durante questa mia dimostrazione mi è sorto un dubbio, posso effettivamente supporre che ogni scomposizione di $K$ sia finita, ovvero $i<+infty$? Perchè se esiste una scomposizione di $K$ infinita allora la somma superiore relativa a questa scomposizione sarebbe $+infty$ perchè sarebbe la somma di infiniti addendi (positivi e forse alcuni nulli)...
Ma che criterio di integrabilità usi? Dai per buono che le funzioni continue sono misurabili? (a quel punto l'integrabilità mi sembra immediata). Magari quello che dici è giusto e sono io che non capisco perché ho delle definizioni diverse.[/quote]
Ho usato la definizione di integrale di Lebesgue, ovvero è uguale all'integrale superiore e inferiore...
"ViciousGoblin":
Dai per buono che le funzioni continue sono misurabili? .
Vabbe viene dal fatto che $f$ è continua dato che se prendi un qualunque aperto $A$ di $RR$ hai che $f^-1(A)$ è aperto di $K$ e per quanto ho detto prima è misurabile (l'aperto), per cui $f$ è misurabile. Perciò siccome $f$ è misurabile e pure $K$ lo è, allora $f$ (e quindi anche $|f|$) è integrabile secondo Lebesgue (ovvero $ \int_{K}f dL^n$ può essere finito, $+infty$, $-infty$). Ma a me serve mostrare che $f$ è "SOMMABILE", ovvero che $ \int_{K}|f| dL^n$ è finito.
@andreadel1988: Ma da che testo studi?
"gugo82":
@andreadel1988: Ma da che testo studi?
Dagli appunti presi a lezione, perchè?
Ti mando dei commenti più precisi.
Qui mi pare vuoi dimostrare che gli aperti sono misurabili e lo vuoi fare dimostrando che se $A$ è aperto allora $A$ è unione (NUMERABILE) di rettangoli. Tu dici che questo SEGUE (scrivi "perciò") dal fatto che la topologia euclidea $(RR^n,\tau_e)$ coincide con la topologia prodotto $(RR^pxxRR^(n-p), \tau_(pro d.))$ con $1<=p<=n-1$. Sono un po' perplesso da questo passaggio, anche se il fatto che ogni aperto è unione numerabile di rettangoli è vero.
OK. Se $K$ è compatto allora è limitato e dunque ha misura finita (è misurabile perché è chiuso): Se $f:K\to\mathbb{R}$ è continua su $K$ compatto allora $f$ (e anche $|f|$) è limitata.
Dopo aver riletto un po' di volte la tua dim. mi pare di capire cosa fai. Sostanzialmente stai costruendo una "somma superiore" $S(|f|,\sigma)$ finita per dedurne che $|f|$ ha integrale finito. Ora questo va bene se sai che $f$ è misurabile e quindi se fai la dimostrazione per bene lo devi dire (poi me l'hai spiegato nell'altro messaggio e siamo d'accordo). Una volta che sai che $f$ è misurabile potresto ricavare la tesi in una riga:
$\int_K|f(x)|dx\leq\int_K\mbox{max}{|f(x)| : x\in K}dx=L^n(K)\mbox{max}{|f(x)| : x\in K}<+\infty$
(il tutto ha senso perché $f$ è misurabile).
Tu però ci vuoi arrivare maggiorando con una somma superiore e ti sei incartato perché ti sembra necessario che la suddivisione sia fatta da un numero finito di intervalli. Se ragioni bene vedi che non ti serve, infatti:
$S(|f|,sigma)=\sum_{i=1}^(n) su p_(A_i)|f|*L^n(A_i)\leq\sum_{i=1}^(n) su p_(K)|f|*L^n(A_i)=su p_(K)|f|*\sum_{i=1}^(n) L^n(A_i)\leq su p_(K)|f|*L^n(K)$.
Che poi in realtà di $A_i$ te ne basta uno solo e cioè un rettangolo che contiene $K$
Va detto che nel caso di una continua su un compatto c'è l'integrabilità secondo Riemann e quindi puoi trovare somme superiori e somme inferiori basate su un numero finito di rettangoli tra loro arbitrariamente vicine.
"andreadel1988":
Ogni funzione continua su un compatto $KsubeRR^n$ è $L^n$-sommabile.
Allora intanto mostro che gli aperti di $RR^n$ sono misurabili. Se prendo la topologia euclidea $(RR^n,\tau_e)$ questa coincide con la topologia prodotto $(RR^pxxRR^(n-p), \tau_(pro d.))$ con $1<=p<=n-1$. Perciò ogni aperto di $RR^n$ si può scrivere come unione di rettangoli di $RR^pxxRR^(n-p)$, ma siccome quest'ultimi sono misurabili allora ogni aperto di $ RR^n $ è misurabile.
Qui mi pare vuoi dimostrare che gli aperti sono misurabili e lo vuoi fare dimostrando che se $A$ è aperto allora $A$ è unione (NUMERABILE) di rettangoli. Tu dici che questo SEGUE (scrivi "perciò") dal fatto che la topologia euclidea $(RR^n,\tau_e)$ coincide con la topologia prodotto $(RR^pxxRR^(n-p), \tau_(pro d.))$ con $1<=p<=n-1$. Sono un po' perplesso da questo passaggio, anche se il fatto che ogni aperto è unione numerabile di rettangoli è vero.
"andreadel1988":
Quindi abbiamo anche che i chiusi sono misurabili e in particolari i compatti (chiusi e limitati). Ora poichè i compatti sono limitati $ AAx,yinK $ tale che $ ||x-y||_E<=l $. Se prendo il cubo $C$ di lato $l$ si ha che $ KsubeC $ e quindi per monotonia $ L^n(K)<=L^n(C)=l^n<+infty $. Infine se $f$ è continua su $K$ per teorema di Weiestrass $ su p_{K} f $ e $ i nf_{K} f $ sono limitati (e coicidono con il massimo e minimo).
OK. Se $K$ è compatto allora è limitato e dunque ha misura finita (è misurabile perché è chiuso): Se $f:K\to\mathbb{R}$ è continua su $K$ compatto allora $f$ (e anche $|f|$) è limitata.
"andreadel1988":
Posto $ \int_{K}|f| dL^n=i nf{S(|f|,sigma)|sigmain\Omega(K)} $. Presa $sigma={A_i |i=1,...,n}$ una scomposizione di $K$, abbiamo che $S(|f|,sigma)=\sum_{i=1}^(n) su p_(A_i)|f|*L^n(A_i)$. Siccome vale che $A_isubeK$ e $s up_K|f|=max{|i nf_K f|, |su p_K f|}$, allora $L^n(A_i)<+infty$ e $s up_(A_i)|f|<+infty$, perciò $S(|f|,sigma)$ (qualunque sia $sigma$) è finito e quindi $ \int_{K}|f| dL^n$ è finito, da cui $f$ sommabile.
Dopo aver riletto un po' di volte la tua dim. mi pare di capire cosa fai. Sostanzialmente stai costruendo una "somma superiore" $S(|f|,\sigma)$ finita per dedurne che $|f|$ ha integrale finito. Ora questo va bene se sai che $f$ è misurabile e quindi se fai la dimostrazione per bene lo devi dire (poi me l'hai spiegato nell'altro messaggio e siamo d'accordo). Una volta che sai che $f$ è misurabile potresto ricavare la tesi in una riga:
$\int_K|f(x)|dx\leq\int_K\mbox{max}{|f(x)| : x\in K}dx=L^n(K)\mbox{max}{|f(x)| : x\in K}<+\infty$
(il tutto ha senso perché $f$ è misurabile).
Tu però ci vuoi arrivare maggiorando con una somma superiore e ti sei incartato perché ti sembra necessario che la suddivisione sia fatta da un numero finito di intervalli. Se ragioni bene vedi che non ti serve, infatti:
$S(|f|,sigma)=\sum_{i=1}^(n) su p_(A_i)|f|*L^n(A_i)\leq\sum_{i=1}^(n) su p_(K)|f|*L^n(A_i)=su p_(K)|f|*\sum_{i=1}^(n) L^n(A_i)\leq su p_(K)|f|*L^n(K)$.
Che poi in realtà di $A_i$ te ne basta uno solo e cioè un rettangolo che contiene $K$
"andreadel1988":
Durante questa mia dimostrazione mi è sorto un dubbio, posso effettivamente supporre che ogni scomposizione di $K$ sia finita, ovvero $i<+infty$? Perchè se esiste una scomposizione di $K$ infinita allora la somma superiore relativa a questa scomposizione sarebbe $+infty$ perchè sarebbe la somma di infiniti addendi (positivi e forse alcuni nulli)...
Va detto che nel caso di una continua su un compatto c'è l'integrabilità secondo Riemann e quindi puoi trovare somme superiori e somme inferiori basate su un numero finito di rettangoli tra loro arbitrariamente vicine.
@ViciousGoblin: 
Eccellente lavoro pedagogico!
Eccellente lavoro pedagogico!
"ViciousGoblin":
Una volta che sai che $f$ è misurabile potresto ricavare la tesi in una riga:
$\int_K|f(x)|dx\leq\int_K\mbox{max}{|f(x)| : x\in K}dx=L^n(K)\mbox{max}{|f(x)| : x\in K}<+\infty$
(il tutto ha senso perché $f$ è misurabile).
.
Ok, posso dire che $f$ è misurabile poichè siccome è continua se prendo $\Omega$ un aperto di $RR^n$ allora $f^-1(\Omega)$ è aperto di $RR$ e quindi misurabile ?(una volta mostrato ciò allora $abs(f)$ sarà misurabile e concludo come hai detto tu)
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