Soluzioni equazione del calore con metodo di fourier
sto studiando per esame di analisi superiore la risoluzione dell'equazione del calore con il metodo di fourier
sono arrivato alla determinazione degli autovalori, nei tre casi
lambda=0
lambda>0
lambda<0
con le diverse soluzioni.
poi si passa alla forma trigonometrica tramite i coefficienti della serie di fourier, poichè l'equazione differenziabile è lineare vado a risolverla con la serie.
non mi è chiaro questo passaggio dagli autovalori alla serie, magari qualcuno di voi ha già studiato questa equazione.
per cui possiamo approssivamare le funzioni a delle serie...che convergono a 0 se lim k tende a +inf.
phi(x)= sommatoria da k=1 a n di ck sin(kx)
u(x,t)= sommatoria da k=1 a n ck sin(kx)e^(-k^2 t)...
grazie
sono arrivato alla determinazione degli autovalori, nei tre casi
lambda=0
lambda>0
lambda<0
con le diverse soluzioni.
poi si passa alla forma trigonometrica tramite i coefficienti della serie di fourier, poichè l'equazione differenziabile è lineare vado a risolverla con la serie.
non mi è chiaro questo passaggio dagli autovalori alla serie, magari qualcuno di voi ha già studiato questa equazione.
per cui possiamo approssivamare le funzioni a delle serie...che convergono a 0 se lim k tende a +inf.
phi(x)= sommatoria da k=1 a n di ck sin(kx)
u(x,t)= sommatoria da k=1 a n ck sin(kx)e^(-k^2 t)...
grazie
Risposte
Ciao, sarebbe meglio se riscrivessi le formule con i compilatori messi a disposizione dal forum, e se mettessi qualche conto in più giusto per chiarire cosa stai facendo.
Ad istinto direi che c'è qualche fattorizzazione spettrale dietro quel passaggio, ma sto tirando a indovinare.
Ad istinto direi che c'è qualche fattorizzazione spettrale dietro quel passaggio, ma sto tirando a indovinare.
è semplicente lo sviluppo del terzo caso, autovalori negativi.
grazie comunque
per la prossima volta provvederò a utilizzare il tutorial per le formule
grazie comunque
per la prossima volta provvederò a utilizzare il tutorial per le formule
Ciao jimorrison1981,
Mi associo alla ragionevole richiesta di Raptorista in merito al chiarire cosa stai facendo scrivendo le equazioni fra i simboli di dollaro, in modo che sia più chiaro per chi legge.
Credo tu ti stia riferendo al principio di sovrapposizione degli effetti, per il quale, data l'equazione
$(delu)/(delt) = c (del^2 u)/(delx^2) $
ove $u(x, 0) = \varphi(x) $, $u(0, t) = 0 $ e $|u(x, t)| < M $
la soluzione si può scrivere nella forma seguente:
$u(x,t) = \sum_{k = 1}^{+\infty} c_k e^{- c \lambda_k^2 t} sin(\lamda_k x)$
Quest'ultima, ricordando che $\varphi(x) = u(x, 0) $, conduce a
$\varphi(x) = \sum_{k = 1}^{+\infty} c_k sin(\lamda_k x) $
Qui è proprio necessario un chiarimento, perché parli di serie, poi esprimi $\varphi(x)$ e $u(x,t)$ come somme: o forse intendevi dire che $n \to +\infty $ ?
Mi associo alla ragionevole richiesta di Raptorista in merito al chiarire cosa stai facendo scrivendo le equazioni fra i simboli di dollaro, in modo che sia più chiaro per chi legge.
"jimorrison1981":
non mi è chiaro questo passaggio dagli autovalori alla serie
Credo tu ti stia riferendo al principio di sovrapposizione degli effetti, per il quale, data l'equazione
$(delu)/(delt) = c (del^2 u)/(delx^2) $
ove $u(x, 0) = \varphi(x) $, $u(0, t) = 0 $ e $|u(x, t)| < M $
la soluzione si può scrivere nella forma seguente:
$u(x,t) = \sum_{k = 1}^{+\infty} c_k e^{- c \lambda_k^2 t} sin(\lamda_k x)$
Quest'ultima, ricordando che $\varphi(x) = u(x, 0) $, conduce a
$\varphi(x) = \sum_{k = 1}^{+\infty} c_k sin(\lamda_k x) $
"jimorrison1981":
per cui possiamo approssivamare le funzioni a delle serie...che convergono a 0 se lim k tende a +inf.
phi(x)= sommatoria da k=1 a n di ck sin(kx)
u(x,t)= sommatoria da k=1 a n ck sin(kx)e^(-k^2 t)...
Qui è proprio necessario un chiarimento, perché parli di serie, poi esprimi $\varphi(x)$ e $u(x,t)$ come somme: o forse intendevi dire che $n \to +\infty $ ?
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