Sistema ortonormale completo su L2

[tgrammer]

sia dato l'operatore $ phi(f):RR->CC $ così definito $ phi(f)(x)=(√2/(1+x^2))f(2arctan(x)) $ .
vale la relazione (che ho già dimostrato) $ phi(e^(-ikt))(x)=(√(2/(1+x^2)))((i+x)/(i-x))^k $ con $ k∈ZZ $ .

vorrei chiedervi una mano su come dimostrare che $ {1/((√2pi))(√2/(1+x^2))((i+x)/(i-x))^k}_{k∈ZZ $ è un sistema ortonormale completo su $ L^2(RR) $

grazie infinite

[dissonance]

Da dove ti viene questa roba? Sembra una proiezione stereografica

[tgrammer]

è un esercizio assegnato dal mio professore. una proiezione stereografica non so cosa sia

[dissonance]

Ti ha assegnato l’esercizio così, senza nessun hint? Si tratta di una proiezione stereografica. Quella mappa \(\Phi\) è un isomorfismo di \(L^2(\mathbb S^1)\) su \(L^2(\mathbb R)\). Il sistema \(\{e^{ikx}\, :\, k\in \mathbb Z\}\) è un sistema ortonormale completo di \(L^2(\mathbb S^1)\). A partire da qui la conclusione è ovvia.