Sistema ortonormale completo su L2
salve ragazzi,
devo dimostrare che le funzioni $ {1/{√L)sin({(k-1/2)πx)/L) }$ con $ k≥1 $ ristrette a $ [0,L] $ formano un sistema ortonormale completo su $ L^2([0,L] $ )
ho seri problemi per lo svolgimento di questo punto dell'esercizio, spero in una spiegazione semplice che non dia difficili nozioni scontate..
devo dimostrare che le funzioni $ {1/{√L)sin({(k-1/2)πx)/L) }$ con $ k≥1 $ ristrette a $ [0,L] $ formano un sistema ortonormale completo su $ L^2([0,L] $ )
ho seri problemi per lo svolgimento di questo punto dell'esercizio, spero in una spiegazione semplice che non dia difficili nozioni scontate..
Risposte
Ciao tgrammer,
Beh, affinché una successione di funzioni ${f_k}_{k \in \NN}$ formi un sistema ortonormale completo su [tex]L^2 ([0, L])[/tex] occorre verificare che sia
[tex]\| f_k \|^2 = \langle f_k, f_k \rangle = 1[/tex]
$\AA k \in \NN $ e
[tex]\langle f_k, f_m \rangle = 0[/tex]
$\AA k, m \in \NN $, $k \ne m $
Come si traducono i prodotti scalari che ti ho scritto in termini di integrali?
Beh, affinché una successione di funzioni ${f_k}_{k \in \NN}$ formi un sistema ortonormale completo su [tex]L^2 ([0, L])[/tex] occorre verificare che sia
[tex]\| f_k \|^2 = \langle f_k, f_k \rangle = 1[/tex]
$\AA k \in \NN $ e
[tex]\langle f_k, f_m \rangle = 0[/tex]
$\AA k, m \in \NN $, $k \ne m $
Come si traducono i prodotti scalari che ti ho scritto in termini di integrali?
correggimi se sbaglio: il prodotto scalare in $ L^2 $ è definito così: $ =∫_(-∞)^(+∞)f_k^❋f_m $ avendo indicato con il simbolo $ ❋ $ il coniugato.
tuttavia pensavo si dovesse dimostrare che "se una funzione è ortogonale a tutto il sistema ortonormale allora questa funzione è nulla" valesse anche con questo sistema
tuttavia pensavo si dovesse dimostrare che "se una funzione è ortogonale a tutto il sistema ortonormale allora questa funzione è nulla" valesse anche con questo sistema
"tgrammer":
avendo indicato con il simbolo ❋ il prodotto di convoluzione.
Eh? Casomai il simbolo di coniugato, anche se è meglio scrivere $\bar{f_k(x)} $
Poi immagino che tu sia in $\RR $, quindi...
hai ragione, ho confuso la notazione
quindi il prodotto scalare diventa: $ ∫_(-∞)^(+∞)1/(√L)sin({(k-1/2)πx)/L)1/(√L)sin({(m-1/2)πx)/L) $ ? dubito, ma non so come trattare funzioni complesse di questo tipo, spero in un aiuto in modo tale da prendere questo esercizio come modello per i futuri
quindi il prodotto scalare diventa: $ ∫_(-∞)^(+∞)1/(√L)sin({(k-1/2)πx)/L)1/(√L)sin({(m-1/2)πx)/L) $ ? dubito, ma non so come trattare funzioni complesse di questo tipo, spero in un aiuto in modo tale da prendere questo esercizio come modello per i futuri
Che libro di teoria usi?
cicogna
Sì, ho letto nell’altro thread.
Usualmente, provare la completezza è una rottura di scatole… Tuttavia, a volte, possono tornare utili i punti 2, 3 e 4 dell’esercizio che proposi qui una decina d’anni fa.
Usualmente, provare la completezza è una rottura di scatole… Tuttavia, a volte, possono tornare utili i punti 2, 3 e 4 dell’esercizio che proposi qui una decina d’anni fa.
Scusa, ma non hai detto che sei su [tex]L^2 ([0, L]; \mathbb{R})[/tex]?
I simboli che si usano hanno un significato... Casomai sarà
$\int_0^L 1/(\sqrt{L}) sin({(k-1/2)πx)/L) 1/(\sqrt{L}) sin({(m-1/2)πx)/L) \text{d}x $
Dov'è che vedi funzioni complesse nell'integrale che ho scritto (ma anche in quello che hai scritto tu)?
I simboli che si usano hanno un significato... Casomai sarà
$\int_0^L 1/(\sqrt{L}) sin({(k-1/2)πx)/L) 1/(\sqrt{L}) sin({(m-1/2)πx)/L) \text{d}x $
"tgrammer":
ma non so come trattare funzioni complesse di questo tipo
Dov'è che vedi funzioni complesse nell'integrale che ho scritto (ma anche in quello che hai scritto tu)?
intendevo complesse nel senso di complicate 
come tratto un integrale di questo tipo?
come tratto un integrale di questo tipo?
"tgrammer":
intendevo complesse nel senso di complicate
È Analisi I… Hai provato con le formule di Werner?
si ma riesco ad arrivare solo al risultato $ 1/(2L)[(Lsin(πk-πm)/(πk-πm)-(Lsin(-πk-πm)/(πk-π+πm))] $ 
E calcola ‘sto integrale, dai…
"tgrammer":
si ma riesco ad arrivare solo al risultato $ 1/(2L)[(Lsin(πk-πm)/(πk-πm)-(Lsin(-πk-πm)/(πk-π+πm))] $
Beh ci sei, prova a fare qualche elaborazione, non sei lontano dal risultato che è il seguente:
$ \int_0^L 1/(\sqrt{L}) sin({(k-1/2)πx)/L) 1/(\sqrt{L}) sin({(m-1/2)πx)/L) \text{d}x = 1/(2\pi) [sin((k - m) π)/(k - m) - sin((k + m - 1) \pi)/(k + m - 1)] $
riesco ad arrivarci, grazie! risultato è zero per quanto scritto prima, quindi l'ortogonalità è verificata. giusto?
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