Sistema completi in L^2
Buongiorno a tutti.
È corretto asserire che un set infinito e numerabile di elementi di L^2 su un certo intervallo è completo se è costituito da elementi linearmente indipendenti in quanto a partire da essi, con l'ortogonalizzazione alla Grham-Schmidt, è possibile costruire un insieme di infiti vettori mutuamente ortogonali costituenti un s.o.n.c (in quanto l'unico elemento ortogonale a tutti è l'elemento nullo)?
Cioè per esempio se considero l'insieme {x^n} con n=0,...,infinito in L^2(-1,1), posso costruire un insieme infinitamenre numerabile di polinomi mutuamente ortogonali, poi normalizzarli ed ottenere quindi un s.o.n.c, e dedurre quindi che il set dei polinomi è completo in L^2(-1,1)?
Dopo aver risposto alla domanda, se possibile vorrei dei chiarimenti sui s.o.n.c negli spazi di Hilbert, in particolare sulla relazione che intercorre tra la nozione di densita di un certo insieme e la nozione di completezza.
Grazie.
È corretto asserire che un set infinito e numerabile di elementi di L^2 su un certo intervallo è completo se è costituito da elementi linearmente indipendenti in quanto a partire da essi, con l'ortogonalizzazione alla Grham-Schmidt, è possibile costruire un insieme di infiti vettori mutuamente ortogonali costituenti un s.o.n.c (in quanto l'unico elemento ortogonale a tutti è l'elemento nullo)?
Cioè per esempio se considero l'insieme {x^n} con n=0,...,infinito in L^2(-1,1), posso costruire un insieme infinitamenre numerabile di polinomi mutuamente ortogonali, poi normalizzarli ed ottenere quindi un s.o.n.c, e dedurre quindi che il set dei polinomi è completo in L^2(-1,1)?
Dopo aver risposto alla domanda, se possibile vorrei dei chiarimenti sui s.o.n.c negli spazi di Hilbert, in particolare sulla relazione che intercorre tra la nozione di densita di un certo insieme e la nozione di completezza.
Grazie.
Risposte
No. Se fosse come tu dici, l'insieme dei monomi di grado pari $\{x^(2n)\}$ sarebbe completo. Stessa cosa per i monomi di grado divisibile per $3$, etc... Infatti, questi insiemi sono tutti linearmente indipendenti.
Attenzione che per un insieme infinito la definizione di "linearmente indipendente" non è del tutto standard; io ad esempio ci devo pensare un attimo prima di ricordarmela, e sono anche andato su wikipedia per controllare: https://en.wikipedia.org/wiki/Linear_in ... inite_case.
Non è un caso. La nozione di insieme linearmente indipendente nel caso infinito è pressoché inutile, esattamente per il motivo che stiamo evidenziando qui.
Attenzione che per un insieme infinito la definizione di "linearmente indipendente" non è del tutto standard; io ad esempio ci devo pensare un attimo prima di ricordarmela, e sono anche andato su wikipedia per controllare: https://en.wikipedia.org/wiki/Linear_in ... inite_case.
Non è un caso. La nozione di insieme linearmente indipendente nel caso infinito è pressoché inutile, esattamente per il motivo che stiamo evidenziando qui.
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