Singolarità sul bordo di un dominio

[Gianni Trattore]

Salve, pongo questa domanda al termine di una sessione di studio, quindi, sperando non sia piu' banale del dovuto, continuo.
Calcolando l'integrale curvilineo, ad esempio lungo una circonferenza, di una funzione che abbia almeno una singolarità sul bordo del dominio, il residuo di questa/e singolarita' contribuisce al valore dell'integrale?
Ho provato a fare vari ragionamenti che pero' al momento non mi hanno portato a conclusioni, spero mi possiate aiutare e grazie.

[gugo82]

Di solito si cerca di evitare singolarità sul bordo, perché creano problemi.
Prova a postare un esempio.

[Gianni Trattore]

Mi è venuto in mente pensando a qualcosa tipo $ f(z)=z/(z-1) $, la cui unica singolarità è $z=1$.
Se volessi calcolare l'integrale lungo una circonferenza di raggio uno centrata nell'origine questa singolarità starebbe sulla circonferenza stessa.
Riflettendoci sono andato a rileggermi alcune definzioni e secondo me l'integrale sarebbe nullo, perché il teorema di cauchy definisce l'equivalenza tra l'integrale lungo la frontiera di un insieme aperto e gli integrali "attorno alle singolarità" contenute nello stesso aperto di prima (spero di non aver frainteso).
Dal momento che la singolarità è sulla frontiera dell' insieme aperto che è il cerchio, questa non appartiene all'insieme, quindi l'integrale lungo la circonferenza dovrebbe essere nullo.
Ha senso?

[Studente Anonimo]

"Gianni Trattore":
Ha senso?

Purtroppo no. Basta considerare il più semplice degli esempi:

$\int_{\gamma}1/(z-z_0)dz$

in cui $\gamma$ è la circonferenza di centro $O$ e raggio $|z_0|$. Ebbene:

$z_0=|z_0|e^(i\theta_0)$

$z=|z_0|e^(i\theta) rarr dz=i|z_0|e^(i\theta)d\theta$

$\int_{0}^{\theta_0-\epsilon}(i|z_0|e^(i\theta))/(|z_0|e^(i\theta)-|z_0|e^(i\theta_0))d\theta+\int_{\theta_0+\epsilon}^{2\pi}(i|z_0|e^(i\theta))/(|z_0|e^(i\theta)-|z_0|e^(i\theta_0))d\theta=$

$=\int_{0}^{\theta_0-\epsilon}(ie^(i\theta))/(e^(i\theta)-e^(i\theta_0))d\theta+\int_{\theta_0+\epsilon}^{2\pi}(ie^(i\theta))/(e^(i\theta)-e^(i\theta_0))d\theta=$

$=[log(e^(i\theta)-e^(i\theta_0))]_{0}^{\theta_0-\epsilon}+[log(e^(i\theta)-e^(i\theta_0))]_{\theta_0+\epsilon}^{2\pi}=$

$=log[e^(i(\theta_0-\epsilon))-e^(i\theta_0)]-log(1-e^(i\theta_0))+log(1-e^(i\theta_0))-log[e^(i(\theta_0+\epsilon))-e^(i\theta_0)]=$

$=log[e^(i(\theta_0-\epsilon))-e^(i\theta_0)]-log[e^(i(\theta_0+\epsilon))-e^(i\theta_0)]=$

$=loge^(i\theta_0)+log(e^(-i\epsilon)-1)-loge^(i\theta_0)-log(e^(i\epsilon)-1)=$

$=log(e^(-i\epsilon)-1)-log(e^(i\epsilon)-1)=$

$=log((e^(-i\epsilon)-1)/(e^(i\epsilon)-1))$

Lascio a te concludere calcolando il limite sottostante:

$lim_(\epsilon->0^+)log((e^(-i\epsilon)-1)/(e^(i\epsilon)-1))=\pii$

[gugo82]

Il problema dell'integrale di linea proposto è che esso non è proprio definito. Quindi il problema di calcolo non si pone neanche.

Quello che si può fare, come notato da Sergeant Elias, è pensare all'integrale come una sorta di integrale di linea esteso ad una curva aperta che tende a coincidere, mandando un parametro a zero, con la curva chiusa assegnata inizialmente... Ma che questa cosa abbia un qualche senso non è proprio immediato, eh.