Singolarità di una funzione di variabile complessa
trovare le singolarità (anche per $ z=∞ $ ) e specificarne il tipo della funzione di variabile complessa $ f(z)=1/z 1/(1-e^(1/z) $
infine, calcolarne il residuo
potreste essere così gentili da spiegarmi il procedimento? so che bisogna fare un cambio di variabile $ z'=1/z $ quando si intende studiare una singolarità per $ z=∞ $ ma non ho mai capito come.. spero di poter finalmente capire con questo esempio
infine, calcolarne il residuo
potreste essere così gentili da spiegarmi il procedimento? so che bisogna fare un cambio di variabile $ z'=1/z $ quando si intende studiare una singolarità per $ z=∞ $ ma non ho mai capito come.. spero di poter finalmente capire con questo esempio
Risposte
Ciao tgrammer,
Dai un'occhiata a questo post che si trova proprio sopra tutti i post qui in Analisi superiore.
Nello specifico non è difficile osservare che si ha:
$\lim_{z \to \infty} f(z) = - 1 $
(è un limite notevole con un segno $ - $ davanti...
)
Per quanto concerne il residuo si ha:
$f(z) = - 1 + 1/(2z) - 1/(12 z^2) + ... $
Quindi $\text{Res}[f(z); infty] = 1/2 $
Dai un'occhiata a questo post che si trova proprio sopra tutti i post qui in Analisi superiore.
Nello specifico non è difficile osservare che si ha:
$\lim_{z \to \infty} f(z) = - 1 $
(è un limite notevole con un segno $ - $ davanti...
)Per quanto concerne il residuo si ha:
$f(z) = - 1 + 1/(2z) - 1/(12 z^2) + ... $
Quindi $\text{Res}[f(z); infty] = 1/2 $
quindi con lo sviluppo di Taylor: $ f(z)=1/z1/{1-(1+1/z+1/(2z^2)+O(z^-3)}}=1/z1/{-1/z-1/(2z^2)+O(z^-2))=1/{-1-1/(2z)+O(z^-2) $ ora arrivo alla tua formula perchè portandoli al numeratore cambiano i segni?
altra domanda, da ciò si vede che ∞ non è una singolarità vero? potresti spiegarmi il motivo per esserne sicuro?
altra domanda, da ciò si vede che ∞ non è una singolarità vero? potresti spiegarmi il motivo per esserne sicuro?
Potresti leggere il libro di teoria, che sicuramente lo spiega bene.
"tgrammer":
ora arrivo alla tua formula perchè portandoli al numeratore cambiano i segni?
E questa da dove ti risulta?
La funzione proposta è piuttosto notevole, vado a braccio dalle mie riflessioni di Elettronica quantistica e Complementi di matematiche:
$f(t) := t/(e^t - 1) = B_0 + B_1 t + B_2/(2!) t^2 + B_3/(3!) t^3 + B_4/(4!) t^4 + ... $
ove $B_0 = 1$ ($\lim_{t \to 0} f(t) = 1$), $B_1 = - 1/2 $, $B_2 = 1/6$, $B_3 = 0 $, $B_4 = - 1/30 $ etc. sono i numeri di Bernoulli, che soddisfano la relazione di ricorrenza $(B + 1)^p = B^p $ dove $B^p $ è formalmente sostituito con $B_p $ dopo lo sviluppo. Anche qualora ignorassi che si tratta dei numeri di Bernoulli, si possono comunque ricavare usando il principio di identità. Quindi nel caso della funzione proposta si ha:
$f(z) = 1/z 1/(1-e^(1/z)) = - (1/z)/(e^(1/z) - 1) = - B_0 - B_1/z - B_2/(2! z^2) - B_3/(3! z^3) - B_4/(4!z^4) - ... = $
$ = - 1 + 1/(2z) - 1/(12z^2) + 1/(720 z^4) - ... $
mi sono informato sui numeri di Bernoulli e ho capito lo sviluppo 
ma come dedurre da ciò che allora l'infinito non è una singolarità per la funzione?
ma come dedurre da ciò che allora l'infinito non è una singolarità per la funzione?
"gugo82":
Potresti leggere il libro di teoria, che sicuramente lo spiega bene.
con tutto il rispetto gugo, ma dal momento che ad ogni domanda che pongo la tua risposta è spesso e volentieri "leggi il libro di teoria", mi viene spontaneo chiedermi se sei consapevole del fatto che tu tratti queste cose (mi sembra di capire) da dieci anni, e ciò che ormai per te è una banalità potrebbe non esserlo per chi studia ciò da soli 2 mesi, tra l'altro in pandemia e senza lezioni regolari. è molto più funzionale, a mio avviso, cercare di dare una spiegazione semplice qui in modo tale da tornare sul mio libro di teoria e afferrare di più, sono il primo a voler capire quindi il libro di teoria l'ho già aperto. sono pienamente convinto che tra 10 anni gli esercizi che mi danno problemi ora, saranno una banalità come lo sono per te. ma non è questo il momento. grazie 
E qual è il libro su cui studi complessa?
cicogna
"tgrammer":
cicogna
Metodi Matematici per la Fisica?
Beh, allora hai saltato pag. 110, par. 3.7.
sì. penso di aver capito, grazie
"tgrammer":
sì. penso di aver capito, grazie
Prego.
E la prossima volta, per favore, quando ti si chiede di leggere il libro di testo, non limitarti a darci un’occchiata: leggilo veramente.
chiedo un'ultima precisazione riguardo al residuo dell'infinito:
il mio prof scrive che è $ -1/2 $ e non capisco come mai dica che sia negativo
"pilloeffe":
Quindi $\text{Res}[f(z); infty] = 1/2 $
il mio prof scrive che è $ -1/2 $ e non capisco come mai dica che sia negativo
Sì scusa, ha ragione il tuo professore perché si ha:
$ \text{Res}[f(z); \infty] = - \text{Res}[1/z^2 f(1/z); 0] $
$ f(z) = - 1 + 1/(2z) - 1/(12z^2) + 1/(720 z^4) - ... $
Quindi
$1/z^2 f(1/z) = - 1/z^2 + 1/(2z) - 1/12 + z^2/720 - ... $
$ \text{Res}[f(z); \infty] = - \text{Res}[1/z^2 f(1/z); 0] = - 1/2 $
$ \text{Res}[f(z); \infty] = - \text{Res}[1/z^2 f(1/z); 0] $
$ f(z) = - 1 + 1/(2z) - 1/(12z^2) + 1/(720 z^4) - ... $
Quindi
$1/z^2 f(1/z) = - 1/z^2 + 1/(2z) - 1/12 + z^2/720 - ... $
$ \text{Res}[f(z); \infty] = - \text{Res}[1/z^2 f(1/z); 0] = - 1/2 $
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