Singolarità di una funzione
ho la funzione $ f(z)=(z^3sin(π/z))/(z^3+1 $ di cui voglio calcolarne le singolarità.
ho questi dubbi:
facendo lo sviluppo di Laurent di $ sin(π/z) $ ho infinite potenze negative di $ z $ . allora $ z=0 $ è una singolarità essenziale. confermate?
altro dubbio: non riesco a studiare la singolarità a $ z=oo $ , potete spiegarmi per favore come si fa? il mio prof dice che poichè a $ z=oo $ lo sviluppo ha solo potenze negative, non c'è singolarità a $ z=oo $
ma non riesco a capire nè come vedere questo sviluppo, nè il motivo della sua affermazione
aiutatemi vi prego
ho questi dubbi:
facendo lo sviluppo di Laurent di $ sin(π/z) $ ho infinite potenze negative di $ z $ . allora $ z=0 $ è una singolarità essenziale. confermate?
altro dubbio: non riesco a studiare la singolarità a $ z=oo $ , potete spiegarmi per favore come si fa? il mio prof dice che poichè a $ z=oo $ lo sviluppo ha solo potenze negative, non c'è singolarità a $ z=oo $
ma non riesco a capire nè come vedere questo sviluppo, nè il motivo della sua affermazione
aiutatemi vi prego
Risposte
Non confermo, perché quello è vero se riesci a scrivere $f$ come serie di Laurent centrata in $z=0$; da quanto hai scritto, sembra che tu abbia sviluppato solamente $\sin \frac{\pi}{z}$ in serie di Laurent centrata in $z=0$ e dunque sembra che tu abbia una cosa tipo
$$\frac{z^3}{z^3+1} \left[\frac{\pi}{z}-\frac{1}{3!} \left(\frac{\pi}{z}\right)^3+\frac{1}{5!} \left(\frac{\pi}{z}\right)^5-...\right]=\frac{1}{z^3+1} \left[\pi z^2-\frac{\pi^3}{3!}+\frac{\pi^5}{5!z^2}+...\right]$$
Ma questa non è la serie di Laurent di $f$ con centro in $z=0$, a causa del termine $\frac{1}{z^3+1}$; perciò non puoi dedurre nulla sulla singolarità in $z=0$ da tale sviluppo.
La tecnica standard per studiare la singolarità in $z=\infty$ è porre $\frac{1}{z}=w$ e studiare $f\left(\frac{1}{w}\right)$ in $w=0$. Prova.
$$\frac{z^3}{z^3+1} \left[\frac{\pi}{z}-\frac{1}{3!} \left(\frac{\pi}{z}\right)^3+\frac{1}{5!} \left(\frac{\pi}{z}\right)^5-...\right]=\frac{1}{z^3+1} \left[\pi z^2-\frac{\pi^3}{3!}+\frac{\pi^5}{5!z^2}+...\right]$$
Ma questa non è la serie di Laurent di $f$ con centro in $z=0$, a causa del termine $\frac{1}{z^3+1}$; perciò non puoi dedurre nulla sulla singolarità in $z=0$ da tale sviluppo.
La tecnica standard per studiare la singolarità in $z=\infty$ è porre $\frac{1}{z}=w$ e studiare $f\left(\frac{1}{w}\right)$ in $w=0$. Prova.
quindi $ z=0 $ è una singolarità essenziale solo se sviluppo tutta la funzione in $ z=0 $ e per arrivare a ciò dovrei sviluppare anche $ 1/(z^3+1) $ . come si procede 
per la singolarità invece a $ z=oo $ ho riscritto la funzione di partenza così:
$ f(z)=(sen(pi/z))/(1+1/z^3 $ quindi ponendo $ omega=1/z $ ottengo $ g(omega)=f(1/omega)=(sen(piomega))/(1+omega^3 $ dove vedo che ci sono infinite potenze negative di $ omega $.
ma quindi non dovrebbero esserci anche infinite potenze negative di $1/z $ e concludere che $ z=oo $ è una singolarità essenziale?
per la singolarità invece a $ z=oo $ ho riscritto la funzione di partenza così:
$ f(z)=(sen(pi/z))/(1+1/z^3 $ quindi ponendo $ omega=1/z $ ottengo $ g(omega)=f(1/omega)=(sen(piomega))/(1+omega^3 $ dove vedo che ci sono infinite potenze negative di $ omega $.
ma quindi non dovrebbero esserci anche infinite potenze negative di $1/z $ e concludere che $ z=oo $ è una singolarità essenziale?
Il fatto è che una serie di Laurent di centro $z_0$ è una serie di potenze del tipo
$$\sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n (z-z_0)^n$$
Quindi, affinché uno sviluppo in serie di una funzione funzione sia una serie di Laurent, devono comparire solo potenze (intere, positive e negative) di $z-z_0$ nel suo sviluppo in serie; il tuo approccio non funziona proprio per questo motivo, perché nel tuo caso $z_0=0$ e dunque dovevano comparire solo potenze di $z$, tuttavia $\frac{1}{z^3+1}=\(z^3+1)^{-1}$ che chiaramente non è una potenza di $z$ ma una potenza di $z^3+1$.
Per sopperire a questo problema, potresti osservare che
$$\frac{1}{z^3+1}=\frac{1}{1-(-z^3)}$$
Ti ricorda qualcosa di sviluppabile in serie con centro in $z=0$?
Per la singolarità in $w=0$ (corrispondente alla singolarità $z=\infty$): stesso problema di prima, per dedurre la natura della singolarità in $w=0$ dagli sviluppi in serie devi avere solo potenze di $w$; tuttavia compare $(w^3+1)^{-1}$. Riprova!
$$\sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n (z-z_0)^n$$
Quindi, affinché uno sviluppo in serie di una funzione funzione sia una serie di Laurent, devono comparire solo potenze (intere, positive e negative) di $z-z_0$ nel suo sviluppo in serie; il tuo approccio non funziona proprio per questo motivo, perché nel tuo caso $z_0=0$ e dunque dovevano comparire solo potenze di $z$, tuttavia $\frac{1}{z^3+1}=\(z^3+1)^{-1}$ che chiaramente non è una potenza di $z$ ma una potenza di $z^3+1$.
Per sopperire a questo problema, potresti osservare che
$$\frac{1}{z^3+1}=\frac{1}{1-(-z^3)}$$
Ti ricorda qualcosa di sviluppabile in serie con centro in $z=0$?
Per la singolarità in $w=0$ (corrispondente alla singolarità $z=\infty$): stesso problema di prima, per dedurre la natura della singolarità in $w=0$ dagli sviluppi in serie devi avere solo potenze di $w$; tuttavia compare $(w^3+1)^{-1}$. Riprova!
"Mephlip":
$$\frac{1}{z^3+1}=\frac{1}{1-(-z^3)}$$
Ti ricorda qualcosa di sviluppabile in serie con centro in $z=0$?
è la serie geometrica $ sum_(n =0)^oo z^n=1/(1-z) $ quindi lo sviluppo della funzione diventa $ f(z)=(z^3(pi/z-pi^3/(6z^3)))/(1/(1-z) $ ?
Ci sono un po' di cose che non vanno:
1) perché hai riportato solo i primi due termini dello sviluppo di $\sin \frac{\pi}{z}$?
2) Giustamente dici che la somma della serie (in questo contesto è convergente) $\sum z^n$ è $\frac{1}{1-z}$, ma allora avendo $\frac{1}{1-(-z^3)}$ nell'espressione della tua funzione devi sostituire la serie a$\frac{1}{1-(-z^3)}$, perché hai fatto il contrario e per di più senza considerare che hai $-z^3$ in luogo di $z$?
Comunque, per $z=\infty$: hai che $w=0$ è un punto di olomorfismo per $f\left(\frac{1}{w}\right)$, pertanto $z=\infty$ è un punto regolare per $f$.
1) perché hai riportato solo i primi due termini dello sviluppo di $\sin \frac{\pi}{z}$?
2) Giustamente dici che la somma della serie (in questo contesto è convergente) $\sum z^n$ è $\frac{1}{1-z}$, ma allora avendo $\frac{1}{1-(-z^3)}$ nell'espressione della tua funzione devi sostituire la serie a$\frac{1}{1-(-z^3)}$, perché hai fatto il contrario e per di più senza considerare che hai $-z^3$ in luogo di $z$?
Comunque, per $z=\infty$: hai che $w=0$ è un punto di olomorfismo per $f\left(\frac{1}{w}\right)$, pertanto $z=\infty$ è un punto regolare per $f$.
riprovo: $ f(z)=(z^3(pi/z-pi^3/(6z^3)+(pi^5/(120z^5))+...))/(sumz^n $ così? grazie per la pazienza.. 
No, hai che $\frac{1}{1+z^3}=\frac{1}{1-(-z)^3}=\sum_{n=0}^\infty (-z^3)^n = 1-z^3+z^9-...$, perciò
$$\frac{z^3}{z^3+1} \sin \frac{\pi}{z} =z^3 \frac{1}{1-(-z^3)} \sin \frac{\pi}{z}=z^3 \sum_{n=0}^\infty (-z^3)^n \cdot \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \frac{\left(\frac{\pi}{z}\right)^{2k+1}}{(2k+1)!}$$
$$=z^3 \cdot (1-z^3+z^6-...) \cdot \left[\frac{\pi}{z}-\frac{1}{3!} \left(\frac{\pi}{z}\right)^3+\frac{1}{5!} \left(\frac{\pi}{z}\right)^5-...\right]$$
Prego, ti pare; non mi spazientisci. Tuttavia credo che tu debba rivedere molti altri concetti pregressi (che vengono molto prima dell'analisi complessa) prima di affrontare queste tipologie di esercizi, altrimenti è poco didattico per te stesso.
Edit: Corretto un esponente sbagliato.
$$\frac{z^3}{z^3+1} \sin \frac{\pi}{z} =z^3 \frac{1}{1-(-z^3)} \sin \frac{\pi}{z}=z^3 \sum_{n=0}^\infty (-z^3)^n \cdot \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \frac{\left(\frac{\pi}{z}\right)^{2k+1}}{(2k+1)!}$$
$$=z^3 \cdot (1-z^3+z^6-...) \cdot \left[\frac{\pi}{z}-\frac{1}{3!} \left(\frac{\pi}{z}\right)^3+\frac{1}{5!} \left(\frac{\pi}{z}\right)^5-...\right]$$
Prego, ti pare; non mi spazientisci. Tuttavia credo che tu debba rivedere molti altri concetti pregressi (che vengono molto prima dell'analisi complessa) prima di affrontare queste tipologie di esercizi, altrimenti è poco didattico per te stesso.
Edit: Corretto un esponente sbagliato.
ciao, scusami se ti contatto ancora. ho capito il procedimento che mi hai scritto ma volevo conferma del fatto che si capisca che lo 0 è una singolarità essenziale dal fatto che, svolgendo i calcoli alla fine vengano queste potenze di z: $ z^8-z^6-z^5+z^4+z^3+z^2-z-1+1/z^2.. $ e ovviamente aggiungendo altri termini dei due sviluppi, si ottengono sempre più potenze negative di z il che mi porta a concludere che la singolarità essenziale.
è giusto così o c'era un modo più veloce/preciso di concludere una volta arrivati qui
inoltre, per quanto riguarda lo studio della singolarità $ z=oo $ ho ottenuto infinite potenze positive di $ omega=0 $ quindi $ omega $ è una singolarità essenziale per $ g(omega) $ . poichè abbiamo posto $ omega=1/z $ ciò vuol dire che $ oo $ è una singolarità essenziale per $ f(z) $ . confermi?
è giusto così o c'era un modo più veloce/preciso di concludere una volta arrivati qui
"Mephlip":?
$$=z^3 \cdot (1-z^3+z^9-...) \cdot \left[\frac{\pi}{z}-\frac{1}{3!} \left(\frac{\pi}{z}\right)^3+\frac{1}{5!} \left(\frac{\pi}{z}\right)^5-...\right]$$
inoltre, per quanto riguarda lo studio della singolarità $ z=oo $ ho ottenuto infinite potenze positive di $ omega=0 $ quindi $ omega $ è una singolarità essenziale per $ g(omega) $ . poichè abbiamo posto $ omega=1/z $ ciò vuol dire che $ oo $ è una singolarità essenziale per $ f(z) $ . confermi?
"tgrammer":
ciao, scusami se ti contatto ancora. ho capito il procedimento che mi hai scritto ma volevo conferma del fatto che si capisca che lo 0 è una singolarità essenziale dal fatto che, svolgendo i calcoli alla fine vengano queste potenze di z: $ z^8-z^6-z^5+z^4+z^3+z^2-z-1+1/z^2.. $ e ovviamente aggiungendo altri termini dei due sviluppi, si ottengono sempre più potenze negative di z il che mi porta a concludere che la singolarità essenziale.
è giusto così o c'era un modo più veloce/preciso di concludere una volta arrivati qui ...
Sì, il motivo è quello; a rigore si dovrebbe effettuare il prodotto di Cauchy per serie, ma non so se l'hai visto nel tuo corso o nei corsi precedenti.
"tgrammer":
inoltre, per quanto riguarda lo studio della singolarità $ z=oo $ ho ottenuto infinite potenze positive di $ omega=0 $ quindi $ omega $ è una singolarità essenziale per $ g(omega) $ . poichè abbiamo posto $ omega=1/z $ ciò vuol dire che $ oo $ è una singolarità essenziale per $ f(z) $ . confermi?
Non confermo. Il punto $w=0$ è una singolarità per $f\left(\frac{1}{w}\right)$? Oppure no?
Studiare $z=\infty$ per $f(z)$ significa studiare $w=0$ per $f\left(\frac{1}{w}\right)$, quindi la prima domanda che devi porti è: cos'è $w=0$ per $f\left(\frac{1}{w}\right)$?
Più brutalmente: ha "problemi" di qualche tipo $f\left(\frac{1}{w}\right)$ in $w=0$?
scusami, ho sbagliato a scrivere. ho infinite potenze positive di $ omega=0 $ quindi $ omega=0 $ non è una singolarità per $ f(1/omega) $
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