Singolarità a z=∞
devo calcolare la singolarità a $ z=∞ $ della funzione di variabile complessa $ f(z)=α^{-z $ con $ α>0 $ parametro reale
per calcolare la singolarità per $ z=∞ $ ho pensato di esprimere $ α^{-z}=e^{-zlog(α)} $ e di fare lo sviluppo in serie di taylor dell'esponenziale centrato in $ z'=1/z=0 $ :
$ 1-zlog(α)+1/2(zlog(α))^2-1/6(zlog(α))^3 $
ma basta fare lo sviluppo di taylor o devo fare lo sviluppo di taylor-laurent?
scusate la confusione, sono i primi esercizi che faccio......
per calcolare la singolarità per $ z=∞ $ ho pensato di esprimere $ α^{-z}=e^{-zlog(α)} $ e di fare lo sviluppo in serie di taylor dell'esponenziale centrato in $ z'=1/z=0 $ :
$ 1-zlog(α)+1/2(zlog(α))^2-1/6(zlog(α))^3 $
ma basta fare lo sviluppo di taylor o devo fare lo sviluppo di taylor-laurent?
scusate la confusione, sono i primi esercizi che faccio......
Risposte
Ciao tgrammer,
Visto che $\alpha > 0 $ per farla più semplice potresti anche considerare $\alpha := e > 0 $...
Visto che $\alpha > 0 $ per farla più semplice potresti anche considerare $\alpha := e > 0 $...
correggimi se sbaglio:
riscrivo $ e^(-z) $ come $e^(-z) =1/e^z $
per calcolarne la singolarità a $ z=∞ $ della funzione $ 1/e^z $ , calcolo la singolarità a $ z=0 $ della funzione $ 1/e^(1/z) $
ne faccio quindi lo sviluppo: $ 1/e^(1/z)=1+1/z+1/(2z^2)+O(z^-3) $
compaiono infinite potenze negative, quindi $ e^-z $ ha una singolarità è essenziale in $ z=∞ $
riscrivo $ e^(-z) $ come $e^(-z) =1/e^z $
per calcolarne la singolarità a $ z=∞ $ della funzione $ 1/e^z $ , calcolo la singolarità a $ z=0 $ della funzione $ 1/e^(1/z) $
ne faccio quindi lo sviluppo: $ 1/e^(1/z)=1+1/z+1/(2z^2)+O(z^-3) $
compaiono infinite potenze negative, quindi $ e^-z $ ha una singolarità è essenziale in $ z=∞ $
Occhio: fissato per semplicità $\alpha$ pari ad $e$, hai che $f(z)=e^{-z}$ e quindi considerando la funzione ausiliaria $g(w)=f\left(\frac{1}{w}\right)$ lo studio della singolarità $z=\infty$ per $f$ è equivalente allo studio della singolarità $w=0$ per $g$; si ha che $g(w)=f\left(\frac{1}{w}\right)=e^{-\frac{1}{w}}$ e quindi lo sviluppo in serie di Laurent di $g$ nella corona circolare di centro $0$ è
$$e^{-\frac{1}{w}}=1-\frac{1}{w}+\frac{1}{2w^2}-\frac{1}{6w^3}+...$$
Come hai correttamente osservato, essendo presenti infiniti termini dati dalle potenze di $\frac{1}{w}$, $w=0$ è singolarità essenziale per $g$ e pertanto $z=\infty$ è una singolarità essenziale per $f$.
Non puoi fermarti mettendo l'errore, devi scrivere l'intero sviluppo in serie (che tra l'altro era sbagliato perché non avevi espresso il reciproco $\frac{1}{e^{\frac{1}{z}}$ come potenza negativa, quindi stavi usando in maniera scorretta lo sviluppo di un esponenziale quando invece non avevi un esponenziale ma il suo reciproco).
$$e^{-\frac{1}{w}}=1-\frac{1}{w}+\frac{1}{2w^2}-\frac{1}{6w^3}+...$$
Come hai correttamente osservato, essendo presenti infiniti termini dati dalle potenze di $\frac{1}{w}$, $w=0$ è singolarità essenziale per $g$ e pertanto $z=\infty$ è una singolarità essenziale per $f$.
Non puoi fermarti mettendo l'errore, devi scrivere l'intero sviluppo in serie (che tra l'altro era sbagliato perché non avevi espresso il reciproco $\frac{1}{e^{\frac{1}{z}}$ come potenza negativa, quindi stavi usando in maniera scorretta lo sviluppo di un esponenziale quando invece non avevi un esponenziale ma il suo reciproco).
ho capito, grazie mille 
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