Singolarità

[FabioA_97]

perché la funzione $ f(z)=1/(z(1-z) $ ha una singolarità essenziale all'infinito?

[otta96]

Cosa hai provato a fare?

[FabioA_97]

$ lim_(x -> oo) absf(z) $ e siccome esiste non è una singolarità essenziale o sbaglio?

[gugo82]

Considera la funzione ausiliaria $g(w) := f(1/w) = w^2/(w - 1) = -w^2 * 1/(1-w) $ ha sviluppo di Laurent in $ 0$ uguale a $sum_(n = 0)^oo - w^(n + 2)$, privo di potenze negative di $w$ (quindi è uno sviluppo di Taylor!); dunque $g$ ha un punto di regolarità in $0$ e, conseguentemente, $f$ è regolare in $oo$.

Altro modo: visto che il polinomio $z(1-z)$ ha un polo del secondo ordine in $oo$, il suo reciproco $1/(z(1-z))$ è regolare in $oo$.

[FabioA_97]

Quindi secondo il tuo ragionamento f(x) ha una singolarità essenziale all’infinito?

[gugo82]

Ovviamente no, la funzione è regolare in $oo$.
La frase:

"gugo82": $f$ è regolare in $oo$

non è abbastanza chiara?

Dove hai trovato scritto che $1/(z(z-1))$ ha una singolarità (e per di più) essenziale in $oo$?


P.S.: Per inciso, nessuna funzione razionale ha mai singolarità essenziali, né al finito né all’infinito.
Alla peggio il punto all’infinito può essere un polo: ciò accade se e solo se il grado del numeratore è maggiore del grado del denominatore. Perché?

[FabioA_97]

Eh anche secondo me non ha singolarità all’infinito, avrà preso male appuri il mio compagno

[gugo82]

"FabioA_97":avrà preso male appuri il mio compagno

Già, già…

Per convincertene ti basterebbe rispondere alla domanda che ponevo più sopra:

"gugo82":Per inciso, nessuna funzione razionale ha mai singolarità essenziali, né al finito né all’infinito.
Alla peggio il punto all’infinito può essere un polo: ciò accade se e solo se il grado del numeratore è maggiore del grado del denominatore. Perché?