Serie numerica convergente, possibile calcolarne la somma?
Buongiorno, sono nuovo nel forum. Ho cercato un po' nelle sezioni ma non ho trovato nulla a riguardo. Sto risolvendo un problema a potenziale e mi sono imbattuto in una serie numerica abbastanza particolare e vorrei capire se è possibile calcolarne la somma. La serie è convergente.
$\sum_{n=1}^\infty\frac{r^{n}cos(n\theta)}{n n!}$
con
$r \in RR^{+}-{0}$
Questa serie l'ho ottenuta ricavando la funzione esponenziale integrale definita da Abramowitz & Stegun per variabile complessa rimanipolandola un po' per risolvere un integrale valore principale di Cauchy. Mi interessa capire solamente se è possibile, e nel caso come, calcolarne la somma. In caso contrario, visto che è convergente, la implementerò numericamente fino a valori sufficientemente alti di $n$.
P.s ho provato a ricondurmi alla serie numerica canonica esponenziale utilizzando le formule di Eulero per il coseno, ma il problema sembra essere l' $n$ a denominatore.
In attesa di qualche consiglio, grazie a tutti e buona giornata!
$\sum_{n=1}^\infty\frac{r^{n}cos(n\theta)}{n n!}$
con
$r \in RR^{+}-{0}$
Questa serie l'ho ottenuta ricavando la funzione esponenziale integrale definita da Abramowitz & Stegun per variabile complessa rimanipolandola un po' per risolvere un integrale valore principale di Cauchy. Mi interessa capire solamente se è possibile, e nel caso come, calcolarne la somma. In caso contrario, visto che è convergente, la implementerò numericamente fino a valori sufficientemente alti di $n$.
P.s ho provato a ricondurmi alla serie numerica canonica esponenziale utilizzando le formule di Eulero per il coseno, ma il problema sembra essere l' $n$ a denominatore.
In attesa di qualche consiglio, grazie a tutti e buona giornata!
Risposte
Potresti iniziare osservando che
\[ f(r,\theta) = \sum_{n=1}^\infty \frac{r^n}{n!}\frac{\cos(n\theta)}{n}\] risulta dal prodotto di Hadamard della serie \(e^r\) e della (parte reale della) serie \(\sum_{n=1}^\infty \frac{e^{in\theta}}{n}\). Quest'ultima è la valutazione in \(t=e^{i\theta}\) della serie \(\sum_{n=1}^\infty \frac{t^n}n\), cioè \(\log\left(\frac{1}{1-e^{i\theta}}\right)\).
A questo punto ignoro se esista una espressione in termini "elementari" per il prodotto di Hadamard di queste due funzioni (ci sono delle regole quando le funzioni generatrici sono razionali, ma qui...).
\[ f(r,\theta) = \sum_{n=1}^\infty \frac{r^n}{n!}\frac{\cos(n\theta)}{n}\] risulta dal prodotto di Hadamard della serie \(e^r\) e della (parte reale della) serie \(\sum_{n=1}^\infty \frac{e^{in\theta}}{n}\). Quest'ultima è la valutazione in \(t=e^{i\theta}\) della serie \(\sum_{n=1}^\infty \frac{t^n}n\), cioè \(\log\left(\frac{1}{1-e^{i\theta}}\right)\).
A questo punto ignoro se esista una espressione in termini "elementari" per il prodotto di Hadamard di queste due funzioni (ci sono delle regole quando le funzioni generatrici sono razionali, ma qui...).
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo