Serie Laurent di $ f(z)=cos(1/z) $

[tgrammer]

$ f(z)=cos(1/z) $ ha uno sviluppo di Laurent che coincide con quello di Taylor perché è assente la parte regolare (ossia non ci sono potenze positive di z).
Riporto qui lo sviluppo che ho trovato:
$ cos(1/z)=1-1/(2z^2)+O(z^(-4)) $
da cui deduco che l’infinito è una singolarità essenziale. Lo zero è invece una singolarità eliminabile, perchè $ lim_{z->0 $ dello sviluppo è $ =1 $ .
Confermate?

[pilloeffe]

Ciao tgrammer,

"tgrammer":Confermate?

No. Stai attento...

[tgrammer]

penso che su $ z=0 $ io non abbia sbagliato.. l'errore è l'infinito, giusto?

[pilloeffe]

Cosa risulta $\lim_{z \to infty} cos(1/z) $ ?
Poi hai sbagliato anche lo sviluppo in serie di Laurent di $cos(1/z) $ che è il seguente:

$cos(1/z) = 1 - 1/(2z^2) + 1/(24z^4) + O(z^{-6}) $

[tgrammer]

mi correggo, sia lo zero che l'infinito sono singolarità eliminabili, dal momento che il limite dello sviluppo sia per $ z->0 $ che per $ z->oo $ fa 1, giusto?

[pilloeffe]

No.

[tgrammer]

potresti darmi una mano a capire per favore?

[pilloeffe]

$\lim_{z \to 0} f(z) = \lim_{z \to 0} cos(1/z) = ? $

[tgrammer]

la funzione oscilla rapidamente in $ z=0 $ quindi quel limite è indeterminato, no?

[pilloeffe]

E perché da questo deduci che $0$ sia una singolarità eliminabile?

[tgrammer]

giusto. allora come posso vedere cosa sia lo zero per la funzione?

[gugo82]

Definizione: cos'è un punto singolare?
Teoremi: come si comporta, al limite, una funzione olomorfa attorno ad un punto singolare?