Serie di Fourier; disuguaglianza di Bessel ed identità di Parseval

[astrolabio95]

Salve a tutti,

Sto cercando di comprendere questo concetto che, purtroppo, non mi è molto chiaro da un punto di vista matematico.

Allora, si vuole verificare che la serie di Fourier approssima bene la funzione $ f(x) $ che supponiamo essere periodica di $2\pi$ nell'intervallo $(-\pi,\pi)$.

Per verificare ciò, si considera l'errore quadratico medio

$||f(x)-S_n(x)||^2 = int_(-\pi)^(\pi) |f(x)-S_n(x)|^2dx $ $ = int_(-\pi)^(\pi) |f(x)|^2dx -\pi[a_0^2/2+sum_(k=1)^(n)(|a_k|^2+|b_k|^2)] (1.1) $

dove $S_n(x)$ è la successione delle somme parziali n-sime.

Allora considerando l'identità di Parseval si ha

$ a_0^2/2+sum_(k=1)^(+oo )(|a_k|^2+|b_k|^2)=1/\piint_(-\pi)^(\pi) |f(x)|^2dx $

e quindi, quando $ n -> +oo $ si ha che

$ a_0^2/2+sum_(k=1)^(n)(|a_k|^2+|b_k|^2) -> 1/\piint_(-\pi)^(\pi) |f(x)|^2dx $

e dunque che $|f(x)-S_n(x)|^2 -> 0 $

Quello che non capisco è l'utilizzo della diseguaglianza di Bessel per dimostrare il senso matematico di (1.1).

Infatti, su questi appunti c'è scritto che, dall'identità di Parseval, si ha che

$ 1/\piint_(-\pi)^(\pi) |f(x)|^2dx $

è una quantità positiva, dunque il secondo termine della d. di Bessel

$ a_0^2/2+sum_(k=1)^(n)(|a_k|^2+|b_k|^2)<=1/\piint_(-\pi)^(\pi) |f(x)|^2dx $

è positivo.

La $ a_0^2/2+sum_(k=1)^(n)(|a_k|^2+|b_k|^2)$ è una serie di potenze a termini positivi, dunque la sua somma coincide con $1/\piint_(-\pi)^(\pi) |f(x)|^2dx $ (non è dimostrato).

Dunque $ a_0^2/2+sum_(k=1)^(n)(|a_k|^2+|b_k|^2)$ è una quantità positiva, altrimenti la d. di Bessel non avrebbe senso (perchè?) e dunque

$a_0^2/2+sum_(k=1)^(n)(|a_k|^2+|b_k|^2)$

,al secondo membro della (1.1) è una quantità non negativa.

Tutto quanto posto nello spoiler non è dimostrato. Vorrei almeno caprine il "senso" matematico, per evitare di imparare qualcosa a memoria...

Grazie.

[dissonance]

Non è una buona spiegazione. Questa è una cosa importante, meglio capirla bene. Consulta un altro libro.

Comunque il punto che il professore vuole segnalare è che, se la successione \(a_n\) è non negativa, allora
\[
\sum_{n=1}^N a_n \le C<\infty \quad \Rightarrow \quad \sum_{n=1}^\infty a_n\ \text{è convergente.}\]

[astrolabio95]

"dissonance":Non è una buona spiegazione. Questa è una cosa importante, meglio capirla bene. Consulta un altro libro.

Comunque il punto che il professore vuole segnalare è che, se la successione \(a_n\) è non negativa, allora
\[
\sum_{n=1}^N a_n \le C<\infty \quad \Rightarrow \quad \sum_{n=1}^\infty a_n\ \text{è convergente.}\]

Ti ringrazio, purtroppo nel libro che ho acquistato "in solitaria" non c'è una spiegazione, o meglio rimanda agli spazi di Hilbert, che nel mio corso non sono stati trattati.

[dissonance]

Vabbè, comunque il punto fondamentale è quello del mio post precedente.