Serie di Fourier di una funzione complessa

[mombe1]

Buonasera a tutti, sto cercando di concludere questo esercizio.
Sia $z \in \mathbb{C}$ e sia $f(x)=e^{i \pi zx}$ for $x \in (-1,1)$. Estendiamo $f$ sulla retta reale come funzione $2$-periodica.
Devo calcolare la sua serie di Fourier e dedurre che
$$\frac{\pi^2}{\sin^2(\pi z)} = \sum_{k\ \in \mathbb{Z}} \frac{1}{(z-k)^2}.$$

I coefficienti di Fourier di $f$ sono
$$\widehat{f}(k)=\frac{1}{2}\int_{-1}^{1} e^{i\pi zx} e^{-i\pi k x}dx = \frac{e^{i\pi (z-k)}-e^{-i\pi (z-k)}}{2i\pi(z-k)}=(-1)^k\frac{e^{i\pi z}-e^{-i\pi z}}{2i\pi(z-k)}=(-1)^k\frac{\sin(\pi z)}{\pi(z-k)}$$

Quindi ottengo
$$\frac{\sin(\pi z)}{\pi} \sum_{k\ \in \mathbb{Z}} \frac{(-1)^k}{z-k}e^{i\pi kx}=e^{i\pi z x}.$$

Ho provato poi a calcolare $f$ in $x = 1 $. Poiché $e^{i\pi k}=(-1)^k $ ottengo

$$\sum_{k\ \in \mathbb{Z}} \frac{1}{z-k}= \frac{\pi e^{i\pi z}}{\sin(\pi z)}.$$

Come posso proseguire?

[Masaki1]

Invece di sostituire $x=1$, usa l'identità di Parselval:

\begin{equation}
\sum_{n \in \mathbb{Z}} |c(n)|^2 = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{\pi} |f(x)|^2 dx
\end{equation}

se $f$ è $2 \pi$-periodica

[mombe1]

Purtroppo l'identità di Parseval mi darebbe un'uguaglianza in termini di valori assoluti, a me serve in senso complesso.

[Masaki1]

Scusami avevo capito male la richiesta. Se si pone $x=0$ e poi si fa il quadrato ad entrambi i membri, magari si riesce, con il prodotto alla Cauchy, a far vedere che tutti i termini misti si annullano a vicenda.

[mombe1]

Devo dimostrare
$$\sum_{n\in\mathbb{Z}} \frac{1}{z-n} \sum_{n\in\mathbb{Z}} \frac{1}{z-n} = \sum_{n\in\mathbb{Z}} \frac{1}{(z-n)^2}.$$
Devo quindi calcolare
$$\sum_{n \in\mathbb{Z}} (-1)^n \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{(z-k)}\frac{1}{(z-n-k)}?$$

[Masaki1]

Si esatto!

[mombe1]

Grazie mille! Non mi sembra tuttavia una soluzione percorribile...