Serie di Fourier

[Galager]

Ciao a tutti, ho provato a svolgere questo esercizio: data la funzione $f(x)=\Sigma\sin^2((n^2x)/2^n)$ determinarne il dominio e verificare che sia periodica di periodo $\pi$ e calcolarne la serie di Fourier (come funzione periodica di periodo $\pi$)

Il dominio mi verrebbe da dire sia R dato che la serie converge totalmente ma non ne sono sicuro, invece la funzione mi sembra periodica di periodo addirittura $\pi/2$ visto il seno al quadrato ma non sono riuscito a svolgere una verifica formale. per il calcolo dei coefficienti di Fourier invece mi sono inevitabilmente perso negli integrali e non riesco a determinarli. Potete aiutarmi?

[gugo82]

Sei sicuro del testo?

[Galager]

"gugo82":Sei sicuro del testo?

Scusa la parentesi è sbagliata, è $\Sigma\sin^2(n^2x)/2^n$

[pilloeffe]

Ciao Galager,

Se la funzione proposta è $f(x) = \sum_{n = 1}^{+\infty} sin^2(n^2 x)/2^n $ non dovresti avere dubbi sul fatto che la serie sia totalmente convergente, dato che si vede subito che è a termini positivi o al più nulli e si ha:

$ \sum_{n = 1}^{+\infty} sin^2(n^2 x)/2^n <= \sum_{n = 1}^{+\infty} 1/2^n = \sum_{n = 1}^{+\infty} (1/2)^n = 1/(1 - 1/2) - 1 = 1 $

[gugo82]

Per la periodicità basta una verifica diretta del fatto che $f(x+pi) = f(x)$.
Per i coefficienti di Fourier basta tenere presente la formula di bisezione del seno $sin^2 alpha = (1 - cos 2alpha)/2$.