Serie di Fourier
non capisco un passaggio nel seguente esercizio spero possiate darmi una mano.
ho la funzione $f(x)=e^(-|x|)$ in $[-1/2,1/2)$
ora il periodo è $tau =1$ e la serie di Fourier è in generale data da: $sum_(n in ZZ) c_n e^(i 2pi nx)$
ora procede a calcolare i coefficienti e per farlo risolve il seguente integrale:
$int_(-1/2)^(1/2)f(x)e^(-2 pi i nx) dx$
la mia domanda ora è: da dove spunta fuori quel segno meno all'esponenziale? io sapevo che in un certo intervallo con periodo $tau$, i coefficienti si calcolassero come:
$a_n = int_(-tau/2)^(tau/2)f(x)cos((2npi)/tau x)$ ed analogamente i $b_n$
cosa non capisco?
ho la funzione $f(x)=e^(-|x|)$ in $[-1/2,1/2)$
ora il periodo è $tau =1$ e la serie di Fourier è in generale data da: $sum_(n in ZZ) c_n e^(i 2pi nx)$
ora procede a calcolare i coefficienti e per farlo risolve il seguente integrale:
$int_(-1/2)^(1/2)f(x)e^(-2 pi i nx) dx$
la mia domanda ora è: da dove spunta fuori quel segno meno all'esponenziale? io sapevo che in un certo intervallo con periodo $tau$, i coefficienti si calcolassero come:
$a_n = int_(-tau/2)^(tau/2)f(x)cos((2npi)/tau x)$ ed analogamente i $b_n$
cosa non capisco?
Risposte
Se la tua funzione è data da
\[
f(x) = \sum_n c_n e^{i2\pi nx}
\]
allora, per estrarre il coefficiente \(c_m\), moltiplichi a destra e a sinistra per \(e^{-i2\pi mx}\) e integri su tutto il dominio:
\[
\int f(x) e^{-i2\pi mx} = \int \sum_n c_n e^{i2\pi nx} e^{-i2\pi mx} = \sum_n c_n \int e^{i2\pi nx} e^{-i2\pi mx}
\]
ma \(e^{i2\pi nx} e^{-i2\pi mx} = 0\) se \(m \ne n\) e \(1\) altrimenti, quindi in realtà
\[
\sum_n c_n \int e^{i2\pi nx} e^{-i2\pi mx} = c_m \int e^{i2\pi mx} e^{-i2\pi mx} = c_m.
\]
Questo è analogo a quando hai un vettore \(x = x^1 e_1 + x^2 e_2 + \cdots \) e vuoi estrarre la componente \(m\)-esima: moltiplichi scalarmente per il vettore della base - che dev'essere ortonormale, altrimenti il trucco non esce - \(e_m\) e per linearità rimane solo \(x^m\).
\[
f(x) = \sum_n c_n e^{i2\pi nx}
\]
allora, per estrarre il coefficiente \(c_m\), moltiplichi a destra e a sinistra per \(e^{-i2\pi mx}\) e integri su tutto il dominio:
\[
\int f(x) e^{-i2\pi mx} = \int \sum_n c_n e^{i2\pi nx} e^{-i2\pi mx} = \sum_n c_n \int e^{i2\pi nx} e^{-i2\pi mx}
\]
ma \(e^{i2\pi nx} e^{-i2\pi mx} = 0\) se \(m \ne n\) e \(1\) altrimenti, quindi in realtà
\[
\sum_n c_n \int e^{i2\pi nx} e^{-i2\pi mx} = c_m \int e^{i2\pi mx} e^{-i2\pi mx} = c_m.
\]
Questo è analogo a quando hai un vettore \(x = x^1 e_1 + x^2 e_2 + \cdots \) e vuoi estrarre la componente \(m\)-esima: moltiplichi scalarmente per il vettore della base - che dev'essere ortonormale, altrimenti il trucco non esce - \(e_m\) e per linearità rimane solo \(x^m\).
ah ok non avevo capito, grazie! ma ogni volta che devo calcolare i coefficienti devo fare questo procedimento oppure c'è una formula generale che comprende intervalli di qualunque periodo?
ad esempio in un altro esercizio ho la funzione $f(x)=e^(-|x|)$ questa volta in $L^2(-pi, pi)$
seguendo il tuo procedimento io arriverei a dire che:
$c_n = sqrt(2pi) int_(-pi)^(pi) e^(- i n x)f(x) dx$ mentre l'esercitatore ha calcolato $c_n = 1/sqrt(2pi) int_(-pi)^(pi) e^(- i n x)f(x) dx$
sto sbagliando io, mi manca qualcosa oppure ha sbagliato lui?
grazie per la disponibilità comunque.
ad esempio in un altro esercizio ho la funzione $f(x)=e^(-|x|)$ questa volta in $L^2(-pi, pi)$
seguendo il tuo procedimento io arriverei a dire che:
$c_n = sqrt(2pi) int_(-pi)^(pi) e^(- i n x)f(x) dx$ mentre l'esercitatore ha calcolato $c_n = 1/sqrt(2pi) int_(-pi)^(pi) e^(- i n x)f(x) dx$
sto sbagliando io, mi manca qualcosa oppure ha sbagliato lui?
grazie per la disponibilità comunque.
Come ho scritto sopra, le funzioni di base \(e_n\) devono essere ortonormali, cioè
\[
||e_n||^2 = (e_n,e_n) = \int_a^b \left| \lambda e^{i2\pi nx} \right| \cdot \left| \lambda e^{i2\pi nx} \right| = 1
\]
da cui puoi ricavare il coefficiente \(\lambda\) con cui normalizzare le funzioni esponenziali.
\[
||e_n||^2 = (e_n,e_n) = \int_a^b \left| \lambda e^{i2\pi nx} \right| \cdot \left| \lambda e^{i2\pi nx} \right| = 1
\]
da cui puoi ricavare il coefficiente \(\lambda\) con cui normalizzare le funzioni esponenziali.
tutto chiaro grazie! 
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