Serie di Fourier
Salve, vi scrivo per chiedervi aiuto riguardo la risoluzione del seguente esercizio.
Dati:
Sia g il prolungamento ad $ mathbb(R) $ per periodicità di
$ x in ]-pi , pi ]rarr x(1-x^2/pi ^2) $
e sia
$ sum_(n = 1)^(+oo) b_n sin(nx) $
la sua serie di Fourier
L'esercizio mi chiede il valore della somma della serie: $ sum_(n = 1)^(+oo) (-1)^n n b_n $
Per risolvere l'esercizio, data la presenza del termine $ n b_n $ , credo si debba considerare la serie di Fourier della derivata prima della funzione e dunque applicare il teorema di derivazione termine a termine di una serie di fourier.
Ma come si procede praticamente? Devo calcolare il coefficiente $ b_n $ considerando la funzione $ g'(x) $ ? ed in seguito calcolare il valore della somma della serie?
Vi ringrazio anticipatamente per l'eventuale aiuto e mi scuso se ho commesso degli errori di ragionamento, ma ho fin ora svolto solo esercizi semplici su questo argomento di cui nessuno presentava l'applicazione del teorema di derivazione
Dati:
Sia g il prolungamento ad $ mathbb(R) $ per periodicità di
$ x in ]-pi , pi ]rarr x(1-x^2/pi ^2) $
e sia
$ sum_(n = 1)^(+oo) b_n sin(nx) $
la sua serie di Fourier
L'esercizio mi chiede il valore della somma della serie: $ sum_(n = 1)^(+oo) (-1)^n n b_n $
Per risolvere l'esercizio, data la presenza del termine $ n b_n $ , credo si debba considerare la serie di Fourier della derivata prima della funzione e dunque applicare il teorema di derivazione termine a termine di una serie di fourier.
Ma come si procede praticamente? Devo calcolare il coefficiente $ b_n $ considerando la funzione $ g'(x) $ ? ed in seguito calcolare il valore della somma della serie?
Vi ringrazio anticipatamente per l'eventuale aiuto e mi scuso se ho commesso degli errori di ragionamento, ma ho fin ora svolto solo esercizi semplici su questo argomento di cui nessuno presentava l'applicazione del teorema di derivazione
Risposte
Intanto ($RP$ sta per "ripetizione periodica"):
$[g(x)=RP(x-x^3/pi ^2)] ^^ [g(x) in C^1(RR)] ^^ [g(x) notin C^2(RR)] rarr [g'(x)=RP(1-(3x^2)/pi ^2)]$
Inoltre, assumendo che si possa derivare termine a termine:
$[g(x)=sum_(n = 1)^(+oo)b_nsinnx] rarr [g'(x)=sum_(n = 1)^(+oo)nb_ncosnx] rarr [g'(\pi)=sum_(n = 1)^(+oo)(-1)^n nb_n=-2]$
Tuttavia, l'assunzione di cui sopra andrebbe giustificata. Dipende dal rigore richiesto.
$[g(x)=RP(x-x^3/pi ^2)] ^^ [g(x) in C^1(RR)] ^^ [g(x) notin C^2(RR)] rarr [g'(x)=RP(1-(3x^2)/pi ^2)]$
Inoltre, assumendo che si possa derivare termine a termine:
$[g(x)=sum_(n = 1)^(+oo)b_nsinnx] rarr [g'(x)=sum_(n = 1)^(+oo)nb_ncosnx] rarr [g'(\pi)=sum_(n = 1)^(+oo)(-1)^n nb_n=-2]$
Tuttavia, l'assunzione di cui sopra andrebbe giustificata. Dipende dal rigore richiesto.
Innanzitutto grazie per la risposta e per lo svolgimento dell'esercizio.
Inoltre vorrei chiederti come mai viene scelto proprio il punto $ x=pi $ per il calcolo della somma
Inoltre vorrei chiederti come mai viene scelto proprio il punto $ x=pi $ per il calcolo della somma
"Allee":
... come mai viene scelto proprio il punto $x=pi$ per il calcolo della somma.
Perché $[cosn\pi=(-1)^n]$.
@SergeantElias: Si può derivare termine a termine esattamente quando la funzione originaria è sufficientemente regolare (C^1 in questo caso). Questo si, va verificato, non è questione di rigore formale. Perché se $g$ non è differenziabile in $\pi$ allora questo procedimento non ha proprio senso: chi sarebbe $g'(\pi)$?
Ciao dissonance.
Sotto quelle ipotesi ho calcolato $g'(\pi)$. Tuttavia, non ero sicuro che, sotto le medesime ipotesi, si potesse anche derivare termine a termine. Sono piuttosto sorpreso di non aver trovato una risorsa in cui si enunciasse questa proprietà. Anzi, ho sempre visto richiedere ipotesi più forti. Solo oggi ho letto che, se una funzione è regolare a tratti, la proprietà vale in ogni punto in cui essa è derivabile. Per completezza:
"anonymous_0b37e9":
$[g(x) in C^1(RR)] ^^ [g(x) notin C^2(RR)]$
"dissonance":
Perché se $g$ non è differenziabile in $\pi$ allora questo procedimento non ha proprio senso: chi sarebbe $g'(\pi)$?
Sotto quelle ipotesi ho calcolato $g'(\pi)$. Tuttavia, non ero sicuro che, sotto le medesime ipotesi, si potesse anche derivare termine a termine. Sono piuttosto sorpreso di non aver trovato una risorsa in cui si enunciasse questa proprietà. Anzi, ho sempre visto richiedere ipotesi più forti. Solo oggi ho letto che, se una funzione è regolare a tratti, la proprietà vale in ogni punto in cui essa è derivabile. Per completezza:
Puoi guardare sul libro di Katznelson, sicuramente là se ne parla. È vero, generalmente si evita di entrare troppo nelle questioni di regolarità. Secondo me si deve agli sviluppi moderni, distribuzioni, spazi di Sobolev, che molto spesso permettono di aggirare la questione. Spesso queste cose sono sottili e difficili.
"dissonance":
Puoi guardare sul libro di Katznelson ...
Ok e grazie del riferimento.
Se possibile, vorrei chiedere il vostro aiuto per un esercizio simile a quello già descritto su cui però ho degli ulteriori dubbi, l'esercizio è il seguente:
Sia g il prolungamento ad $ mathbb(R) $ per periodicità di
e $ sum_(n = -oo) ^(+oo) c_n e^(i n x ) $ è la sua serie di Fourier
Qual è il valore della somma della serie $ sum_(n = -oo) ^(+oo) (-1)^n n c_n $ ?
Dunque considerando
$ g'(x)=sin x +xcosx $
per
$ g'(pi)= sum_(n = -oo) ^(+oo) c_n e^(i n x )=-pi $
Il mio dubbio riguarda la presenza di una discontinuità in $ pi $. L'esercizio va svolto in modo differente? Vi ringrazio ancora una volta anticipatamente per le eventuali risposte.
Sia g il prolungamento ad $ mathbb(R) $ per periodicità di
Click sull'immagine per visualizzare l'originale
e $ sum_(n = -oo) ^(+oo) c_n e^(i n x ) $ è la sua serie di Fourier
Qual è il valore della somma della serie $ sum_(n = -oo) ^(+oo) (-1)^n n c_n $ ?
Dunque considerando
$ g'(x)=sin x +xcosx $
per
$ g'(pi)= sum_(n = -oo) ^(+oo) c_n e^(i n x )=-pi $
Il mio dubbio riguarda la presenza di una discontinuità in $ pi $. L'esercizio va svolto in modo differente? Vi ringrazio ancora una volta anticipatamente per le eventuali risposte.
Utilizzando le seguenti notazioni:
$[c_n=1/(2\pi)\int_{-\pi}^{\pi}f(x)e^(-i nx)dx] ^^ [f(x)=sum_(n=-oo)^(+oo)c_n e^(i nx)]$
per quanto riguarda i coefficienti della serie di Fourier della derivata:
$1/(2\pi)\int_{-\pi}^{\pi}f'(x)e^(-i nx)dx=1/(2\pi)[f(x)e^(-i nx)]_(-\pi)^(\pi)-i n/(2\pi)\int_{-\pi}^{\pi}f(x)e^(-i nx)dx=$
$=1/(2\pi)[f(\pi)e^(-i n\pi)-f(-\pi)e^(i n\pi)]-i n/(2\pi)\int_{-\pi}^{\pi}f(x)e^(-i nx)dx=-i nc_n$
Inoltre:
$[(f'_(+)(x)+f'_(-)(x))/2=sum_(n=-oo)^(+oo)-i nc_n e^(i nx)] rarr$
$rarr [(f'_(+)(\pi)+f'_ (-)(\pi))/2=-isum_(n=-oo)^(+oo)(-1)^n nc_n] rarr$
$rarr [sum_(n=-oo)^(+oo)(-1)^n nc_n=i/2[f'_(+)(\pi)+f'_ (-)(\pi)]] rarr$
$rarr [sum_(n=-oo)^(+oo)(-1)^n nc_n=-i\pi/2]$
$[c_n=1/(2\pi)\int_{-\pi}^{\pi}f(x)e^(-i nx)dx] ^^ [f(x)=sum_(n=-oo)^(+oo)c_n e^(i nx)]$
per quanto riguarda i coefficienti della serie di Fourier della derivata:
$1/(2\pi)\int_{-\pi}^{\pi}f'(x)e^(-i nx)dx=1/(2\pi)[f(x)e^(-i nx)]_(-\pi)^(\pi)-i n/(2\pi)\int_{-\pi}^{\pi}f(x)e^(-i nx)dx=$
$=1/(2\pi)[f(\pi)e^(-i n\pi)-f(-\pi)e^(i n\pi)]-i n/(2\pi)\int_{-\pi}^{\pi}f(x)e^(-i nx)dx=-i nc_n$
Inoltre:
$[(f'_(+)(x)+f'_(-)(x))/2=sum_(n=-oo)^(+oo)-i nc_n e^(i nx)] rarr$
$rarr [(f'_(+)(\pi)+f'_ (-)(\pi))/2=-isum_(n=-oo)^(+oo)(-1)^n nc_n] rarr$
$rarr [sum_(n=-oo)^(+oo)(-1)^n nc_n=i/2[f'_(+)(\pi)+f'_ (-)(\pi)]] rarr$
$rarr [sum_(n=-oo)^(+oo)(-1)^n nc_n=-i\pi/2]$
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