Serie di Fourier

[domenico.migl]

Salve a tutti, mi sono imbattuto in un piccolo intoppo in un esercizio sulle serie di Fourier, anche se a dire il vero il mio dubbio non riguarda la serie bensì il calcolo di un integrale. L'esercizio recita:

"Si scriva la serie di Fourier della ripetizione periodica della funzione $f:[0,(3pi)/4 [ to RR$ di legge $f(x)=|cosx|$ indicando poi la somma."

Come prima cosa mi sono fatto il grafico della ripetizione ed ho visto che la funzione non è ne pari ne' dispari e che inoltre la funzione è generalmente continua in tutto $RR$. Poi mi stavo calcolando i coefficienti della serie $a_0, a_k, b_k$:

$a_0=8/(3pi) int_0^(pi/2)cosxdx+8/(3pi)int_(pi/2)^(3/4pi)-cosxdx=8/(3pi)(1-sqrt(2)/2+1)=4/(3pi)(4-sqrt(2))$

$a_k=8/(3pi) int_0^(pi/2)cos x cos (k omega x) dx +8/(3pi)int_(pi/2)^(3/4pi)-cosx cos(k omega x)dx$

Ecco il dubbio come faccio a calcolarmi l'integrale di un prodotto tra coseni con argomenti diversi?

Grazie dell'attenzione

[Studente Anonimo]

"Caronte":
... ho visto che la funzione non è ne pari ne' dispari ...

Se la consideri per $[-3/4\pi lt x lt 3/4\pi]$ si tratta di una funzione pari la cui ripetizione è continua $[AA x in RR]$.

"Caronte":
... come faccio a calcolarmi l'integrale ...

Formule di Werner: $[cos\alphacos\beta=1/2[cos(\alpha+\beta)+cos(\alpha-\beta)]]$

[domenico.migl]

Per quanto riguarda l'integrale ho risolto integrando due volte per parti, come si fa nel caso dell'integrale di $sin^2x$ e $cos^2x$ .. per quanto riguarda la simmetria non ho ben capito quello che vuoi dirmi, si in quell'intervallo che dici tu la funzione è pari, ma il mio è un intervallo diverso .. posso fare qualche considerazione su quell'intervallo?

[Studente Anonimo]

Quando la funzione è definita in un intervallo del tipo $[0 lt= x lt= l]$, puoi vederla come uno dei due tratti della funzione pari definita in $[-l lt= x lt= l]$ uguale a quella iniziale per $[x gt= 0]$. Così facendo, $[b_n=0]$.

[domenico.migl]

"anonymous_0b37e9":Quando la funzione è definita in un intervallo del tipo $[0 lt= x lt= l]$, puoi vederla come uno dei due tratti della funzione pari definita in $[-l lt= x lt= l]$ uguale a quella iniziale per $[x gt= 0]$. Così facendo, $[b_n=0]$.

Quindi fammi vedere se ho capito bene ... Sfruttando la proprietà che mi hai detto tu, posso scrivere:

$a_k=2/T int_(0)^(T/2)f(x)cos(k omega x)= 8/(3 pi)int_(0)^((3pi)/8)|cosx|cos(k omega x)$
(al numeratore del rapporto $2/T$ lascio scrivo $2$ giusto??)

e inoltre come funzione pari posso affermare che $b_k=0 " "forall k \in NN$

Ho capito bene?? Ci sono altri "trucchetti" di questo tipo che sarebbe utile conoscere?

[Studente Anonimo]

"Caronte":
Sfruttando la proprietà che mi hai detto ...

Probabilmente una svista:

$[a_k=2/Tint_(-T/2)^(T/2)f(x)cos(k\omegax)dx=4/Tint_0^(T/2)f(x)cos(k\omegax)dx=8/(3\pi)int_0^(3/4\pi)|cosx|cos(k\omegax)dx] ^^ [b_k=0]$

"Caronte":
Ci sono altri "trucchetti" ...

Puoi anche vederla come uno dei due tratti di una funzione dispari.

[domenico.migl]

"anonymous_0b37e9":

$4/Tint_0^(T/2)f(x)cos(k\omegax)dx=8/(3\pi)int_0^(3/4\pi)|cosx|cos(k\omegax)dx$

Non ero sicuro se mettere $2$ o $4$.. ma se mettiamo $4$ non verrebbe $4/((3pi)/4)=16/(3pi)$ ??

[domenico.migl]

Penso di aver capito .. il periodo da considerare, con la supposizione che stiamo facendo, non è più $(3pi)/4$ bensì $(3pi)/2$ (il doppio) per cui $4/((3pi)/2)=8/(3pi)$ come avevi scritto tu!

Penso si corretto quello che ho detto, correggimi se sbaglio, ti ringrazio del supporto datomi, mi è stato veramente utile!

[Studente Anonimo]

"Caronte":
... il periodo da considerare, con la supposizione che stiamo facendo, non è più $(3pi)/4$ bensì $(3pi)/2$ (il doppio) ...

Confermo.

[domenico.migl]

Scusami ancora.. avrei l'ultimo dubbio, per quanto riguarda la somma della serie posso dire che essendo la funzione continua in $[0,3/4pi[$ per il criterio di Dirichlet la somma coinciderà con il valore assunto dalla funzione $forall x \in ]0, 3/4pi[$. Mentre nei punti $x=0$ e $x=3/4pi$ devo fare la media del valore destro e sinistro della funzione.. Ad esempio prendendo in esame il punto $x=0$ si avrà $f(0^+)=1$, quanto vale invece $f(0^-)$??

[Studente Anonimo]

Se procedi come si è detto, la funzione non può che essere continua per $[AA x in RR]$.

[domenico.migl]

Ma nel punto $x=3/4 pi$ non c'è una discontinuità di prima specie? perchè è dove finisce un periodo e ne inizia un altro..

Click sull'immagine per visualizzare l'originale

io l'ho disegnata così ..

[domenico.migl]

Anche se consideriamo come periodo $ [-3/4 pi, 3/4 pi[$ in $x=3/4pi$ non c'è sempre una discontinuità di prima specie??

[Studente Anonimo]

Non è quella la funzione a cui alludo, non è nemmeno pari. Devi fare il simmetrico rispetto all'asse y del tratto definito inizialmente per $[0 lt= x lt= 3/4\pi]$ e ripetere la funzione così ottenuta su tutto l'asse reale.

"anonymous_0b37e9":
Se la consideri per $[-3/4\pi lt x lt 3/4\pi]$ si tratta di una funzione pari la cui ripetizione è continua $[AA x in RR]$.

"anonymous_0b37e9":
Quando la funzione è definita in un intervallo del tipo $[0 lt= x lt= l]$, puoi vederla come uno dei due tratti della funzione pari definita in $[-l lt= x lt= l]$ uguale a quella iniziale per $[x gt= 0]$. Così facendo, $[b_n=0]$.

"anonymous_0b37e9":
Se procedi come si è detto, la funzione non può che essere continua per $[AA x in RR]$.

Insomma, ti stai perdendo in un bicchier d'acqua.

P.S.
Probabilmente è stata la prima citazione a confonderti. Tuttavia, la seconda mi sembra ineccepibile.

[domenico.migl]

Ok! Ti ringrazio nuovamente, sei stato veramente tanto gentile