Serie di Fourier

[stefano8612]

Ciao, sto studiando per il corso di elaborazione delle immagini e c'è un capitolo che tratta la trasformata di Fourier.
Da quanto ho capito la differenza tra trasformata e serie di Fourier è che la prima funziona anche se la funzione non è periodica, mentre la prima no.
Quindi posso dire che la serie di Fourier è un caso particolare della trasformata di Fourier?

Comunque, ciò che non ho capito è come si arriva alla formula della serie e il significato di ogni variabile contenuta in essa.
Questo è ciò che è scritto nel paragrafo riguardante la serie di Fourier:

La serie di Fourier è una somma di $\sin$ e $\cos$ moltiplicati per coefficienti appropriati, che esprime una funzione $f(t)$ di una variabile periodica $t$ con periodo $T$.
Ogni funzione periodica può essere scritta come somma di $\sin$ e $\cos$ di differenti ampiezze e frequenze.
Se c’è un solo tipo ($\sin$ o $\cos$) allora è coinvolta anche la fase.

La serie di Fourier ha la seguente forma:

$f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n e^{j \cdot \frac{2 \pi n}{T}t} = \sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n e^{j \omega n t}$

con: $n\in \mathbb{Z}, \omega=\frac{2 \pi}{T}$

dove i coefficienti sono:

$c_n=\frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t) e^{-j \frac{2 \pi n}{T} t} dt=\frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t) e^{-j \omega n t}dt$

con: $n=0,\pm 1,\pm 2, ...$

Il fatto che $f(t)$ sia composta da $\sin$ e $\cos$ deriva dalla formula di Eulero: $e^(j\theta)=cos(\omega) + j sin(\omega)$.

I miei dubbi sono:
[list=1](1) possibile che $c_n$ abbia all'interno $f(t)$? Vuol dire che se sotituisco $c_n$ in $f(t)$ ottengo che la funzione $f(t)$ richiama se stessa...[/list:o:2k6ycfl6]
[list=2](2)cosa rappresentano $j$, $\omega$, $n$, $T$ e $t$?[/list:o:2k6ycfl6]

Grazie

[Bremen000]

"stefano86":Ciao, sto studiando per il corso di elaborazione delle immagini e c'è un capitolo che tratta la trasformata di Fourier.
Da quanto ho capito la differenza tra trasformata e serie di Fourier è che la prima funziona anche se la funzione non è periodica, mentre la prima no.
Quindi posso dire che la serie di Fourier è un caso particolare della trasformata di Fourier?

Be', molto alla buona si potrebbe dire che mentre la serie di fourier approssima la funziona con un'infinità discreta di armoniche, la trasformata lo fa con un' infinità continua di armoniche, ma è un discorso un po' grossolano.

"stefano86":
Comunque, ciò che non ho capito è come si arriva alla formula della serie e il significato di ogni variabile contenuta in essa.

Per come ci si arriva, per sommi capi:
1.Bisogna mostrare che $\{\frac{1}{\sqrt{2}}, \cos(nx), \sin(nx) \}_{n\ge1}$ forma una base per lo spazio (di Hilbert) delle funzioni $\L^2(0;2\pi)$ dotato di un certo prodotto scalare.
2. Allora ogni elemento dello spazio può essere espresso come una combinazione lineare degli elementi della base.
3. Come per ogni base che si rispetti, i coefficienti da dare a ognuno degli elementi della base per ottenere un vettore dello spazio come combinazione lineare di essi non è altro che il prodotto scalare tra il vettore e gli elementi della base, da cui la formula per i coefficienti.

Ho scritto $(0;2\pi)$ per fissare le idee ma il discorso si generalizza anche a intervalli diversi.

"stefano86":
[list=1](1) possibile che $c_n$ abbia all'interno $f(t)$? Vuol dire che se sotituisco $c_n$ in $f(t)$ ottengo che la funzione $f(t)$ richiama se stessa...[/list:o:emcmckjv]

L'integrale "satura" la variabile $t$ e dunque i coefficienti non dipendono da $t$ e dunque nemmeno da $f(t)$, ma solo da $n$, cioè, fissato $n$, sono numeri reali.

"stefano86":
[list=2](2)cosa rappresentano $j$, $\omega$, $n$, $T$ e $t$?[/list:o:emcmckjv]

$j$ è l'unità immaginaria
$\omega$ = $2\pi/T$ ,
$T$ è il periodo
$t$ è una variabile, come $x$, quando scrivi $f(x)$ niente di esoterico.