Separazione variabili equazione Laplace
Codice:
(*) 4. Sia $u(x, y) $ la soluzione del seguente problema di Neumann per l'equazione di Laplace
[tex]\begin{cases}
u_{xx}+ u_{yy} = 0 \qquad 0 \le x \le L \quad, \quad 0 \le y \le M\\
u_y(x, 0) = 0 \qquad \quad 0 \le x \le L \\
u_y(x, M) = f(x) \quad 0 \le x \le L\\
u_x(0, y) = u_x(L, y) = 0 \qquad \quad, \quad 0 \le y \le M
\end{cases}[/tex]
È corretto come risultato $ \sum_{k = 0}^{+\infty} c_k \cdot cos(k \cdot pi/L \cdot x) \cdot cosh(k \cdot pi/L \cdot y) $ ?
(*) 4. Sia $u(x, y) $ la soluzione del seguente problema di Neumann per l'equazione di Laplace
[tex]\begin{cases}
u_{xx}+ u_{yy} = 0 \qquad 0 \le x \le L \quad, \quad 0 \le y \le M\\
u_y(x, 0) = 0 \qquad \quad 0 \le x \le L \\
u_y(x, M) = f(x) \quad 0 \le x \le L\\
u_x(0, y) = u_x(L, y) = 0 \qquad \quad, \quad 0 \le y \le M
\end{cases}[/tex]
È corretto come risultato $ \sum_{k = 0}^{+\infty} c_k \cdot cos(k \cdot pi/L \cdot x) \cdot cosh(k \cdot pi/L \cdot y) $ ?
Risposte
[xdom="Martino"]Per favore, evitare di postare foto di esercizi, è richiesto di riportare il testo usando il latex. Grazie.[/xdom]
Ciao Martino, non so come fare a scrivere il testo del sistema
Ciao _Ronaldo_CR7-,
E quale sarebbe il problema? Te lo scrivo io, così poi puoi modificare l'OP di conseguenza...
(*) 4. Sia $u(x, y) $ la soluzione del seguente problema di Neumann per l'equazione di Laplace
[tex]\begin{cases}
u_{xx}+ u_{yy} = 0 \qquad 0 \le x \le L \quad, \quad 0 \le y \le M\\
u_y(x, 0) = 0 \qquad \quad 0 \le x \le L \\
u_y(x, M) = f(x) \quad 0 \le x \le L\\
u_x(0, y) = u_x(L, y) = 0 \qquad \quad, \quad 0 \le y \le M
\end{cases}[/tex]
È corretto come risultato $ u(x, y) = \sum_{k = 0}^{+\infty} c_k \cdot cos(k \cdot pi/L \cdot x) \cdot cosh(k \cdot pi/L \cdot y) $ ?
"_Ronaldo_CR7-":
non so come fare a scrivere il testo del sistema
E quale sarebbe il problema? Te lo scrivo io, così poi puoi modificare l'OP di conseguenza...
(*) 4. Sia $u(x, y) $ la soluzione del seguente problema di Neumann per l'equazione di Laplace
[tex]\begin{cases}
u_{xx}+ u_{yy} = 0 \qquad 0 \le x \le L \quad, \quad 0 \le y \le M\\
u_y(x, 0) = 0 \qquad \quad 0 \le x \le L \\
u_y(x, M) = f(x) \quad 0 \le x \le L\\
u_x(0, y) = u_x(L, y) = 0 \qquad \quad, \quad 0 \le y \le M
\end{cases}[/tex]
È corretto come risultato $ u(x, y) = \sum_{k = 0}^{+\infty} c_k \cdot cos(k \cdot pi/L \cdot x) \cdot cosh(k \cdot pi/L \cdot y) $ ?
(*) [b]4.[/b] Sia $u(x, y) $ la soluzione del seguente problema di Neumann per l'equazione di Laplace
[tex]\begin{cases}
u_{xx}+ u_{yy} = 0 \qquad 0 \le x \le L \quad, \quad 0 \le y \le M\\
u_y(x, 0) = 0 \qquad \quad 0 \le x \le L \\
u_y(x, M) = f(x) \quad 0 \le x \le L\\
u_x(0, y) = u_x(L, y) = 0 \qquad \quad, \quad 0 \le y \le M
\end{cases}[/tex]
È corretto come risultato $ \sum_{k = 0}^{+\infty} c_k \cdot cos(k \cdot pi/L \cdot x) \cdot cosh(k \cdot pi/L \cdot y) $ ?
[xdom="gugo82"]
Dopo 350 post?
C'è qualche problema, allora.
Ti conviene (ri)leggere al più presto la guida all'uso degli strumenti appositi.
In mancanza, ulteriori thread saranno chiusi.[/xdom]
"_Ronaldo_CR7-":
Ciao Martino, non so come fare a scrivere il testo del sistema
Dopo 350 post?
C'è qualche problema, allora.
Ti conviene (ri)leggere al più presto la guida all'uso degli strumenti appositi.
In mancanza, ulteriori thread saranno chiusi.[/xdom]
"pilloeffe":
Ciao _Ronaldo_CR7-,
[quote="_Ronaldo_CR7-"]non so come fare a scrivere il testo del sistema
E quale sarebbe il problema? Te lo scrivo io, così poi puoi modificare l'OP di conseguenza...
(*) 4. Sia $u(x, y) $ la soluzione del seguente problema di Neumann per l'equazione di Laplace
[tex]\begin{cases}
u_{xx}+ u_{yy} = 0 \qquad 0 \le x \le L \quad, \quad 0 \le y \le M\\
u_y(x, 0) = 0 \qquad \quad 0 \le x \le L \\
u_y(x, M) = f(x) \quad 0 \le x \le L\\
u_x(0, y) = u_x(L, y) = 0 \qquad \quad, \quad 0 \le y \le M
\end{cases}[/tex]
È corretto come risultato $ u(x, y) = \sum_{k = 0}^{+\infty} c_k \cdot cos(k \cdot pi/L \cdot x) \cdot cosh(k \cdot pi/L \cdot y) $ ?
(*) [b]4.[/b] Sia $u(x, y) $ la soluzione del seguente problema di Neumann per l'equazione di Laplace
[tex]\begin{cases}
u_{xx}+ u_{yy} = 0 \qquad 0 \le x \le L \quad, \quad 0 \le y \le M\\
u_y(x, 0) = 0 \qquad \quad 0 \le x \le L \\
u_y(x, M) = f(x) \quad 0 \le x \le L\\
u_x(0, y) = u_x(L, y) = 0 \qquad \quad, \quad 0 \le y \le M
\end{cases}[/tex]
È corretto come risultato $ \sum_{k = 0}^{+\infty} c_k \cdot cos(k \cdot pi/L \cdot x) \cdot cosh(k \cdot pi/L \cdot y) $ ?[/quote]Grazie mille.
Ti sembra corretto il mio risultato?
Che quella roba lì soddisfi formalmente la PDE e le condizioni $u_y = 0$, $u_x=0$ su tre pezzi di bordo è evidente; bisogna solo dire esplicitamente chi sono i coefficienti $c_k$.
Grazie mille, per quanto riguarda c0, è arbitrario, gli altri c_k li trovo guardando la serie di Fourier di f(x) e poi uguagliando le espressioni.
"_Ronaldo_CR7-":
Grazie mille, per quanto riguarda c0, è arbitrario, gli altri c_k li trovo guardando la serie di Fourier di f(x) e poi uguagliando le espressioni.
Prego...
Ah, scusa, ma non dovrebbe esserci $M$ al denominatore nei coseni iperbolici?
"gugo82":
[quote="_Ronaldo_CR7-"]Grazie mille, per quanto riguarda c0, è arbitrario, gli altri c_k li trovo guardando la serie di Fourier di f(x) e poi uguagliando le espressioni.
Prego...
Ah, scusa, ma non dovrebbe esserci $M$ al denominatore nei coseni iperbolici?[/quote]
Perché?
Avrò $cosh(kpi/L *M)$ al denominatore di $c_k$ no?
"_Ronaldo_CR7-":
[quote="gugo82"][quote="_Ronaldo_CR7-"]Grazie mille, per quanto riguarda c0, è arbitrario, gli altri c_k li trovo guardando la serie di Fourier di f(x) e poi uguagliando le espressioni.
Prego...
Ah, scusa, ma non dovrebbe esserci $M$ al denominatore nei coseni iperbolici?[/quote]
Perché?
Avrò $cosh(kpi/L *M)$ al denominatore di $c_k$ no?[/quote]
Sì, scusa, avevo sbagliato a guardare... Pensavo avessi un problema omogeneo su tutto il bordo e non mi veniva $u_y = 0$ sul tratto $y=M$.
Però termina i calcoli e vienili a postare, così controlliamo.
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