Separazione di variabili

[luc27]

Ciao a tutti ragazzi. Mi trovo davanti al seguente problema, che si tratta di risolvere il seguente sistema di PDE:

$ \frac{\partial}{partial t} ( \frac{\partial w}{\partial z} ) = ( \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} ) \frac{p}{\rho} $
$ \frac{d^2 w}{d t^2} = - \frac[1}{\rho} \frac{d}{dt} (\frac{\partial p}{\partial z}) - N^2w $

dove

$ \frac{d}{dt} = \frac{\partial}{\partial t} + U \frac{\partial}{\partial x} + V \frac{\partial}{\partial y} $

con $ w = w(x,y,z,t) $ e $ p = p(x,y,z,t) $ mentre $U$, $V$, $\rho$ e $N^2$ sono costanti.

Abbiamo quindi due equazioni in due incognite. Per risolvere queste due equazioni é stato usato il metodo di separazione di variabili, quindi é stato posto
$ w = \phi_w(z) W(x,y,t) $
$ p = \phi_p(z) P(x,y,t) $
e si procede poi con i calcoli arrivando ad una soluzione.

Io devo essenzialmente controllare che la soluzione proposta sia corretta. La mia domanda é:

- Sotto quali ipotesi si puó utilizzare il metodo di separazione di variabili? É lecito usarlo in questo caso?
- Come si fa ad essere sicuri che la soluzione trovata sia unica, o che comunque non ne escluda altre di forma diversa?

Grazia in anticipo per l'aiuto.

[gugo82]

1. Quando la forma del dominio lo consente. Se il problema è ambientato in una semistriscia o in un semicilindro puoi farlo, così come in una palla.
2. Devi studiare la teoria dietro quel sistema lì.