Scambio derivata e integrale complesso
Ciao, vorrei dimostrare la proposizione seguente senza teoria della misura:
sia $f:A \rightarrow \mathbb{C} $ una funzione continua di variabile complessa sull'aperto non vuoto $A$. Sia $w \in \mathbb{C}$ un parametro, e $w \mapsto f_w \in C^0 $. Allora per ogni curva $\gamma$ in $A$: $\frac{d}{d w} \int_{\gamma} f(z,w) dz = \int_{\gamma} f_w(z,w) dz $.
Dovrei dare ipotesi aggiuntive su $A, w$ e $\gamma$?
Comunque, io ho ragionato così:
chiamo $G(w)=\int_{\gamma} f(z,w) dz$. Allora $| G(w+h)-G(w)-h\int_{\gamma} f_w(z,w) dz |= | \int_{\gamma} f(z,w+h)-f(z,w)-hf_w(z,w) dz |\leq |\gamma| \max_{z \in \gamma}|f(z,w+h)-f(z,w)-hf_w(z,w)|$.
(Ho scritto $\max$ perché non sono riuscito a scrivere sup)
Ora, $|f(z,w+h)-f(z,w)-hf_w(z,w)|=o(|h|)$ con $h \rightarrow 0$, quindi segue la tesi.
In realtà qua è richiesta la sola esistenza di $f_w$. Poi la presenza di $\max$ mi suggerisce di usare in qualche modo la continuità uniforme. In ogni caso potreste indicare gli errori e aiutarmi a dare una dimostrazione corretta?
Grazie in anticipo!
sia $f:A \rightarrow \mathbb{C} $ una funzione continua di variabile complessa sull'aperto non vuoto $A$. Sia $w \in \mathbb{C}$ un parametro, e $w \mapsto f_w \in C^0 $. Allora per ogni curva $\gamma$ in $A$: $\frac{d}{d w} \int_{\gamma} f(z,w) dz = \int_{\gamma} f_w(z,w) dz $.
Dovrei dare ipotesi aggiuntive su $A, w$ e $\gamma$?
Comunque, io ho ragionato così:
chiamo $G(w)=\int_{\gamma} f(z,w) dz$. Allora $| G(w+h)-G(w)-h\int_{\gamma} f_w(z,w) dz |= | \int_{\gamma} f(z,w+h)-f(z,w)-hf_w(z,w) dz |\leq |\gamma| \max_{z \in \gamma}|f(z,w+h)-f(z,w)-hf_w(z,w)|$.
(Ho scritto $\max$ perché non sono riuscito a scrivere sup)
Ora, $|f(z,w+h)-f(z,w)-hf_w(z,w)|=o(|h|)$ con $h \rightarrow 0$, quindi segue la tesi.
In realtà qua è richiesta la sola esistenza di $f_w$. Poi la presenza di $\max$ mi suggerisce di usare in qualche modo la continuità uniforme. In ogni caso potreste indicare gli errori e aiutarmi a dare una dimostrazione corretta?
Grazie in anticipo!
Risposte
Innanzitutto $f:A xx CC -> CC$, altrimenti quello che scrivi non ha senso.
Il caso di più variabili complesse non l’ho mai affrontato... Tuttavia, ricorda che le funzioni derivabili in senso complesso sono molto belle dal punto di vista della regolarità, dunque minimo-minimo dovresti trovare che $f_w(z,*)$ è analitica in $CC$ per ogni $z in A$ e ciò potrebbe servire.
Ovviamente si devono controllare le convergenze, ma più di questo ora non riesco a dirti.
Il caso di più variabili complesse non l’ho mai affrontato... Tuttavia, ricorda che le funzioni derivabili in senso complesso sono molto belle dal punto di vista della regolarità, dunque minimo-minimo dovresti trovare che $f_w(z,*)$ è analitica in $CC$ per ogni $z in A$ e ciò potrebbe servire.
Ovviamente si devono controllare le convergenze, ma più di questo ora non riesco a dirti.
Magari però sai spiegarmi quello che sta sotto la mia domanda. Supponendo che valga il teorema di rappresentazione di Cauchy per una funzione olomorfa $f$ in una regione semplice $A$, continua su $\bar{A}$. Allora $f(z)= \frac{1}{2 \pi i} \int_{\partial A} f(w)/(w-z)dw$. Da qui in qualche modo si ricava $f^{(n)} (z) = \frac{n!}{2 \pi i} \int_{\partial A} f(w)/(w-z)^{n+1}dw$. Questa era la cosa che mi turbava in origine...
Dimostrazioni di questo fatto (formula integrale di Cauchy per le derivate) si trovano su ogni testo di Analisi Complessa.
Che libro usi?
Comunque, parti dalla formula di Cauchy, forma il rapporto incrementale, smanetta e poi passa al limite.
Che libro usi?
Comunque, parti dalla formula di Cauchy, forma il rapporto incrementale, smanetta e poi passa al limite.
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