Risolvere Integrale con i residui?

[Omi1]

Salve a tutti, ho il seguente integrale e non riesco a trovarmi con il risultato di wolfram. Infatti mi esce solo $ pi/8 $ . L'integrale è:

$ int_(0)^(+oo ) 1/(x^2-2x+17) dx $

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Ciao, a me sembra un integrale immediato con la sostituzione $t=(x-1)/4$. Trovi $1/4 arctan(t)$ tra $-1/4$ e $+oo$ e quindi $1/4(pi/2+arctan(1/4))$.

[Omi1]

Grazie Martino , perdonami per non averlo specificato, ma dovrei calcolarlo con i residui..

[pilloeffe]

Ciao Omi,

Mi ritrovo con lo stesso risultato di Martino, che poi è lo stesso di WolframAlpha:

$\int_0^{+\infty} 1/(x^2-2x+17) \text{d}x = 1/4[\pi/2 + arctan(1/4)] = 1/8[\pi + 2 \text{arccotan}(4)] ~~ 0,45394 $

Sconsiglierei di risolvere un integrale del genere con i residui, ma se proprio lo devi risolvere così potresti dare un'occhiata ad esempio a questo thread.

[Omi1]

Grazie come sempre Pillo, purtroppo ahimè devo risolverlo per forza con i residui. Il problema è che applicando la formula che hai dato non riesco a trovarmi ugualmente. La formula dovrebbe essere :

$ I=-sum_ ()Res[R(z)*lnz] $

Applicandola viene fuori solo il termine arcotangente cambiato di segno, infatti:

$ Res[lnz/(z^2-2z+17)]=lnz/(2z-2)|_(z=1+4j)=(arctg(4))/8-(jln(sqrt5))/8 $

Analogamente :

$ Res[lnz/(z^2-2z+17)]=lnz/(2z-2)|_(z=1-4j)=(arctg(4))/8+(jln(sqrt5))/8 $

Quindi sommando i due residui:

$ I=(-arctg(4))/4 $ e questa volta oltre a non trovarmi col segno non mi esce nemmeno $ pi/8 $ . Sbaglio qualche passaggio?

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Potresti usare il fatto che $arctan(4)+arctan(1/4)=pi/2$.

[Omi1]

Non ho capito Martino..

[pilloeffe]

Rivedrei il calcolo dei residui, che mi pare errato...

$ z^2 - 2z + 17 = (z - 1 - 4i)(z - 1 + 4i) $

$ln(z) = ln|z| + i \text{arg}(z) $

$|1 + 4i| = |1 - 4i| = \sqrt{17} $

[Omi1]

Pillo perdonami, ma essendo zeri semplici i residui non si calcolano derivando il denominatore e sostituendo brutalmente i valori? Per il modulo ho sbagliato, ma comunque $ ln(sqrt17) $ dovrebbero elidersi nella somma dei residui

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Purtroppo non ti so dire perché viene sbagliato (aspetterei pilloeffe), sono a digiuno di analisi complessa, ma ho l'impressione che abbia a che vedere con qualche ambiguità su cosa significhi $Arg(z)$ (forse nella formula coi residui e il logaritmo). Quello che ti suggerivo era di scrivere $arctan(4)=pi/2-arctan(1/4)$ ottenendo (alla fine dei tuoi conti) che $I = -1/4 (pi/2-arctan(1/4))$, che comunque è sbagliato ma almeno adesso compaiono $pi/8$ e $arctan(1/4)$.

[pilloeffe]

Per la formula che hai riportato la scelta del foglio della superficie di Riemann sul quale lavorare è quella per la quale $ 0 < \text{arg}(z) < 2\pi $, per cui si ha:

$ \text{Res}[lnz/(z^2-2z+17), z = 1 + 4i] = ln(1 + 4i)/(8i) = - 1/16 i ln(17) + 1/8 arctan(4) $

$ \text{Res}[lnz/(z^2-2z+17), z = 1 - 4i] = ln(1 - 4i)/(- 8i) = [1/2 ln(17) - i arctan(4) + 2\pi i]/(-8i) = $
$ = 1/16 i ln(17) + 1/8 arctan(4) - \pi/4 $

Dunque si ha:

$ I = - \sum \text{Res}[R(z) ln z] = \pi/4 - 1/4 arctan(4) = \pi/4 - 1/4 [\pi/2 - arctan(1/4)] = \pi/8 + 1/4 arctan(1/4) $

[Omi1]

Pillo ovviamente riesci sempre ad illuminarci. Consideravo l'argomento principale tra $ [-pi,pi] $ e quindi non mi sarebbe mai uscito quel $ 2pij $ . Grazie ancora per la pazienza che hai nel dare le soluzioni, grazie grazie.

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

"pilloeffe":Per la formula che hai riportato la scelta del foglio della superficie di Riemann sul quale lavorare è quella per la quale $ 0 < \text{arg}(z) < 2\pi $

Lo sospettavo, immagino sia un fatto intrinseco alla dimostrazione della formula col logaritmo. Il termine $+pi$ risolve tutto.

[pilloeffe]

"Omi":Grazie ancora per la pazienza che hai nel dare le soluzioni, grazie grazie.

Prego!

"Martino":Lo sospettavo, immagino sia un fatto intrinseco alla dimostrazione della formula col logaritmo.

Sì, è proprio così. Comunque per arrivare al risultato che tu hai ottenuto in pochi minuti ho dovuto usare anche la formula che hai citato

$arctan(x) + arctan(1/x) = \pi/2 $

nel caso particolare $x = 4 $.
Concludo dicendo che questo può considerarsi un esempio di integrale da non risolvere col metodo dei residui, perché la soluzione col metodo dei residui è più complicata delle altre, mentre tipicamente accade il contrario. Un altro esempio di integrale da non risolvere col metodo dei residui si può trovare in questo thread.

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Infatti ieri ho provato per mezz'ora ad applicare il teorema dei residui ma non c'è stato verso