Risolvere 4 integrali di lebesgue
Es.1 calcolare $$ \lim_{n \rightarrow \infty}\int _0 ^ {\infty}{\frac{1} {1+x^n}dx }$$ ho risolto così:
abbiamo innanzitutto spezzato l'integrale negli intervalli in $[ 0,1 ]$ e $[ 1,\infty]$ $$ \int _0 ^ {\infty}{\frac{1} {1+x^n}dx} = \int _0 ^ 1 {\frac{1} {1+x^n}dx} + \int _1 ^ {\infty}{\frac{1} {1+x^n}dx} $$
Poi notiamo che $\frac{1} {1+x^n}\rightarrow 1$ per $0
Es.2 calcolare $$ \lim_{n\rightarrow \infty} \int_0 ^n {\frac{1}{1+nx} dx} $$
che abbiamo calcolato prima per n fissato, sfruttando quindi l'equivalenza tra integrale di Lebesgue e quello di Riemann su intervalli per funzioni integrabili Riemann e siamo quindi passati al limite $$ \lim_{n\rightarrow \infty} [\frac 1 n \log(1+nx)]_0^n =0 $$
Es.3 calcolare $$ \lim_{n\rightarrow \infty} \int_0 ^n {(1-\frac{x^{\pi e}} n)e^\frac x 2 dx} $$
in questo caso il risultato vale meno infinito.
abbiamo maggiorato in questo modo : $$ \lim_{n\rightarrow \infty} \int_0 ^n {(1-\frac{x^{\pi e}} n)e^\frac x 2 dx} \leqslant \lim_{n\rightarrow \infty} \int_0 ^n {(1-\frac{x^{2}} n)e^\frac x 2 dx} $$ ed integrando per parti troviamo $$ \lim_{n\rightarrow \infty} e^\frac n 2 (-n+ \frac 4 n - \frac 8 {n^2})=-\infty$$
Es.4 $$ \lim_{n\rightarrow \infty} \int_0 ^n {(1+\frac{-x^{27}} n)e^{-2x} dx} $$
fino ad ora gli integrali sono risolti correttamente?
abbiamo innanzitutto spezzato l'integrale negli intervalli in $[ 0,1 ]$ e $[ 1,\infty]$ $$ \int _0 ^ {\infty}{\frac{1} {1+x^n}dx} = \int _0 ^ 1 {\frac{1} {1+x^n}dx} + \int _1 ^ {\infty}{\frac{1} {1+x^n}dx} $$
Poi notiamo che $\frac{1} {1+x^n}\rightarrow 1$ per $0
Es.2 calcolare $$ \lim_{n\rightarrow \infty} \int_0 ^n {\frac{1}{1+nx} dx} $$
che abbiamo calcolato prima per n fissato, sfruttando quindi l'equivalenza tra integrale di Lebesgue e quello di Riemann su intervalli per funzioni integrabili Riemann e siamo quindi passati al limite $$ \lim_{n\rightarrow \infty} [\frac 1 n \log(1+nx)]_0^n =0 $$
Es.3 calcolare $$ \lim_{n\rightarrow \infty} \int_0 ^n {(1-\frac{x^{\pi e}} n)e^\frac x 2 dx} $$
in questo caso il risultato vale meno infinito.
abbiamo maggiorato in questo modo : $$ \lim_{n\rightarrow \infty} \int_0 ^n {(1-\frac{x^{\pi e}} n)e^\frac x 2 dx} \leqslant \lim_{n\rightarrow \infty} \int_0 ^n {(1-\frac{x^{2}} n)e^\frac x 2 dx} $$ ed integrando per parti troviamo $$ \lim_{n\rightarrow \infty} e^\frac n 2 (-n+ \frac 4 n - \frac 8 {n^2})=-\infty$$
Es.4 $$ \lim_{n\rightarrow \infty} \int_0 ^n {(1+\frac{-x^{27}} n)e^{-2x} dx} $$
fino ad ora gli integrali sono risolti correttamente?
Risposte
Ciao,
Es.1 Beppo-Levi applicato come?
Es.2 ok
Es.3 mi pare che la maggiorazione valga solo se $x>1$.
Es.4 Zero idee?
Es.1 Beppo-Levi applicato come?
Es.2 ok
Es.3 mi pare che la maggiorazione valga solo se $x>1$.
Es.4 Zero idee?
Per quanto riguarda il primo ho applicato beppo levi per le funzioni crescenti positive in[0,1] e beppo levi per le decrescenti in [1,$\infty$]. L'unico dubbio è che nel mio enunciato dovrei trovare una funzione integrabile che maggiori per ogni n mentre io ho considerato $\frac 1 {1+x^2}$ .
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