Risoluzione integrale con Teorema dei residui

[Lisandro_26]

Salve a tutti, sto riscontrando qualche problema con la risoluzione di questo integrale:

$ oint_(D) (e^z-1)/((z^5+2z^3+z)sinz)dz $ con $ D={z:|z-1/2j|<1} $

Passiamo direttamente al punto in cui mi sono bloccato. Uno dei punti singolari della funzione risulta essere $ j $ , che dovrebbe essere un polo di ordine 2.
Dunque per calcolarne il residuo dovrei risolvere il seguente limite:

$ lim_(z -> j) d/dz[(e^z-1)/((z^5+2z^3+z)sinz)(z-j)^2] $ -----> $ lim_(z -> j) d/dz[(e^z-1)/(z(z-j)^2(z+j)^2sinz)(z-j)^2] $

Ora, se il ragionamento è corretto, e se non ho commesso errori, la derivata dovrebbe essere uguale a:

$ lim_(z -> j) {e^z[(z^3+2jz^2-z)sinz] - (e^z-1)[(3z^2+4jz-1)sinz+(z^3+2jz-z)cosz]}/[(z^3+2jz^2-z)sinz]^2 $

Personalmente dubito della correttezza di questo svolgimento(essendo un risultato molto strano), per cui ci terrei a sapere da qualcuno più esperto di me se sbaglio qualcosa nel ragionamento, nei calcoli o altro.
Grazie in anticipo.

[gugo82]

Fa alquanto ribrezzo, ma pare giusto.
Per semplificarti la vita, potresti pensare di non sviluppare i prodotti... Ma viene una schifezza di calcolo ugualmente.


P.S.: compito di Ferone/Trombetti?

[Lisandro_26]

"gugo82":Fa alquanto ribrezzo, ma pare giusto.
Per semplificarti la vita, potresti pensare di non sviluppare i prodotti... Ma viene una schifezza di calcolo ugualmente.


P.S.: compito di Ferone/Trombetti?

Esatto, Trombetti...
Grazie per la risposta!