[RISOLTO] Classificazione delle singolarità
Mi viene chiesto di classificare le singolarità della funzione
$f(z)=(coszcoshz)/(z^3(z^2-pi^2/4)^2(z^2+pi^2/4))$
- [*:shjgjgrt]Le singolarità che trovo sono: $z_0=0$, $z_(1,2)=+-pi/2$, $z_(3,4)=+-ipi/2$[/*:m:shjgjgrt]
[*:shjgjgrt]$z_0$ è un polo di grado tre perché facendo $(z-z_0)^3f(z)$ la singolarità va via[/*:m:shjgjgrt][/list:u:shjgjgrt]
Senza calcolare la serie di Laurent non so come classificare le altre singolarità e il problema è anche che non so come trovare la serie di Laurent di quella funzione...Qualche spunto? C'è un modo per valutare tutto senza ricavarsi la serie?
Risposte
Sono comunque poli, e' esattamente lo stesso ragionamento che hai fatto per dire che $0$ e' un polo di ordine 3...
La soluzione del docente stabilisce che:
- [*:oswy9kfu]$ z_(1,2)=+-pi/2 $ sono poli semplici [/*:m:oswy9kfu][*:oswy9kfu]$ z_(3,4)=+-ipi/2 $ sono singolarità eliminabili [/*:m:oswy9kfu][/list:u:oswy9kfu]
Ma una singolarità si dice eliminabile se la parte principale dello sviluppo di $f(z)$ centrato nella singolarità è nullo e quindi lo sviluppo di Laurent coincide con lo sviluppo di Taylor...Quindi per capire se $ z_(3,4)=+-ipi/2 $ sono eliminabili mi occorre lo sviluppo? Torniamo al problema dell'OP...
Per quanto riguarda i poli semplici della soluzione, come faccio a vederlo?
Scomponendo il denominatore ottengo:
$ z^3[(z-pi/2)(z+pi/2)]^2(z+ipi/2)(z-ipi/2) $
Facendo: $ (z-z_(1,2) ) f(z) $ non riesco a vedere che le singolarità scompaiono...
Un buon modo per classificare le singolarità è calcolare il limite della funzione nei punti considerati. Se il limite esiste finito allora è una singolarità eliminabile, se è infinito è un polo altrimenti è una singolarità essenziale...
si, per le singolarita' eliminabili osserva anche se per caso si annulla il numeratore...
"Luca.Lussardi":
si, per le singolarita' eliminabili osserva anche se per caso si annulla il numeratore...
Il numeratore si annulla in $+-pi/2$ che però vengono classificate come poli semplici
"Bremen000":
Un buon modo per classificare le singolarità è calcolare il limite della funzione nei punti considerati. Se il limite esiste finito allora è una singolarità eliminabile, se è infinito è un polo altrimenti è una singolarità essenziale...
Facendo il semplice limite della funzione nei punti considerati, essendo quelle delle singolarità, il denominatore non si annulla per ognuna di esse? Di conseguenza tutti i limiti verrebbero $oo$
Ti ringranzio 
ma ci sono dei concetti che nella parte di analisi complessa sulle serie di Laurent non trovo...
ma ci sono dei concetti che nella parte di analisi complessa sulle serie di Laurent non trovo...
Tipo?
Tipo questa:
È un qualcosa che non saprei applicare al mio caso...inoltre non capisco cosa c'entrino gli zeri dei quali non si fa per niente cenno nella parte sulle serie di Laurent affrontata nel mio corso di studi.
Io ho:
Siano $f (z)$ e $g(z)$ e olomorfe non identicamente nulle in $\Omega$, $z_0\in \Omega$ tale che $f(z_0)=0=g(z_0)$ e siano $n$ ed $m$, rispettivamente, gli ordini di $z_0$ come zero di $f$ e $g$.
La funzione $(f(z))/(g(z))$ ha in $z_0$:
[*:2bj2r9wz] una singolarità eliminabile che è uno zero d'ordine $n-m$ se e solo se $n>m$;
[/*:m:2bj2r9wz]
[*:2bj2r9wz] una singolarità eliminabile che non è uno zero se e solo se $n=m$;
[/*:m:2bj2r9wz]
[*:2bj2r9wz] un polo d'ordine $m-n$ se e solo se $m>n$.[/*:m:2bj2r9wz][/list:u:2bj2r9wz]
In particolare, la funzione $1/(g(z))$ (reciproca di $g(z)$) ha in $z_0$ un polo d'ordine $m$ se e solo se $g(z)$ ha in $z_0$ uno zero d'ordine $m$.
È un qualcosa che non saprei applicare al mio caso...inoltre non capisco cosa c'entrino gli zeri dei quali non si fa per niente cenno nella parte sulle serie di Laurent affrontata nel mio corso di studi.
Io ho:
$ (coszcoshz)/(z^3(z^2-pi^2/4)^2(z^2+pi^2/4)) $
- [*:2bj2r9wz]Nella mia funzione: $f(z)=coszcoshz$, $g(z)=z^3(z^2-pi^2/4)^2(z^2+pi^2/4)$[/*:m:2bj2r9wz][/list:u:2bj2r9wz] poi boh, come continuo?
Inoltre se avessi singolarità essenziali come me ne accorgerei secondo la tua definizione?
"phigreco":
Facendo il semplice limite della funzione nei punti considerati, essendo quelle delle singolarità, il denominatore non si annulla per ognuna di esse?
Si.
"phigreco":
Di conseguenza tutti i limiti verrebbero $oo$
No.
Mica è detto che se il denominatore si annulla il limite faccia $\infty$. Banalmente $\lim_{z \to 0} \frac{1-cos(z)}{z} = 0 \ne \infty $.
"Bremen000":
[quote="phigreco"]
[quote="phigreco"]
Di conseguenza tutti i limiti verrebbero $ oo $
No..[/quote][/quote]
Sorry, svarione momentaneo
Comunque:
"Bremen000":
Un buon modo per classificare le singolarità è calcolare il limite della funzione nei punti considerati. Se il limite esiste finito allora è una singolarità eliminabile, se è infinito è un polo altrimenti è una singolarità essenziale...
Cosa intendi per altrimenti? Che non esiste? Perché questi sono i risultati che ottengo:
$ f(z)= (coszcoshz)/(z^3(z^2-pi^2/4)^2(z^2+pi^2/4)) $
- [*:219r9ooc]$lim_(z->0^+) f(z) =oo != lim_(z->0^-) f(z) = -oo $[/*:m:219r9ooc]
[*:219r9ooc]$lim_(z->pi/2^+) f(z) =oo != lim_(z->pi/2^-) f(z) =-oo $[/*:m:219r9ooc]
[*:219r9ooc]$lim_(z->-pi/2^+) f(z) =oo != lim_(z->-pi/2^-) f(z) =-oo$[/*:m:219r9ooc]
[*:219r9ooc] $lim_(z->ipi/2) f(z) = l $ con $l in CC $ finito[/*:m:219r9ooc]
[*:219r9ooc] $lim_(z->-ipi/2) f(z) = l$ con $l in CC $ finito [/*:m:219r9ooc][/list:u:219r9ooc]
Il tutto concorderebbe con quanto dici, finché non si va a verificare l'esistenza del limite verificando che limite destro e sinistro coincidano...
Hai ragione, per essere precisi e affinché la regoletta sui limiti funzioni, bisognerebbe guardare a rigore cosa fa il modulo di $f(z)$.
Dunque
$$ \lim_{z \to z_0} |f(z)| = \begin{cases} + \infty \Rightarrow &\text{Polo} \\ \quad \\ l \in \mathbb{C} \Rightarrow \quad &\text{Singolarità eliminabile} \\ \quad \\ \nexists \Rightarrow \quad &\text{Singolarità essenziale} \end{cases} $$
Vale poi un bel teorema (di Picard) che dice che la classe limite di $f$ per una singolarità essenziale è tutto il piano complesso privato, al più, di un punto.
Dunque
$$ \lim_{z \to z_0} |f(z)| = \begin{cases} + \infty \Rightarrow &\text{Polo} \\ \quad \\ l \in \mathbb{C} \Rightarrow \quad &\text{Singolarità eliminabile} \\ \quad \\ \nexists \Rightarrow \quad &\text{Singolarità essenziale} \end{cases} $$
Vale poi un bel teorema (di Picard) che dice che la classe limite di $f$ per una singolarità essenziale è tutto il piano complesso privato, al più, di un punto.
Sei stato molto utile, chiaro e preciso 
infinitamente grazie 
infinitamente grazie
"phigreco":
Tipo questa:
Siano $f (z)$ e $g(z)$ e olomorfe non identicamente nulle in $\Omega$, $z_0\in \Omega$ tale che $f(z_0)=0=g(z_0)$ e siano $n$ ed $m$, rispettivamente, gli ordini di $z_0$ come zero di $f$ e $g$.
La funzione $(f(z))/(g(z))$ ha in $z_0$:
[*:1fvynny9] una singolarità eliminabile che è uno zero d'ordine $n-m$ se e solo se $n>m$;
[/*:m:1fvynny9]
[*:1fvynny9] una singolarità eliminabile che non è uno zero se e solo se $n=m$;
[/*:m:1fvynny9]
[*:1fvynny9] un polo d'ordine $m-n$ se e solo se $m>n$.[/*:m:1fvynny9][/list:u:1fvynny9]
In particolare, la funzione $1/(g(z))$ (reciproca di $g(z)$) ha in $z_0$ un polo d'ordine $m$ se e solo se $g(z)$ ha in $z_0$ uno zero d'ordine $m$.
È un qualcosa che non saprei applicare al mio caso...inoltre non capisco cosa c'entrino gli zeri dei quali non si fa per niente cenno nella parte sulle serie di Laurent affrontata nel mio corso di studi.
Beh, prendi un libro serio di Analisi Complessa e studia.
Se non vuoi nulla di complicato, puoi buttare uno sguardo ai primi dieci capitoli del vecchio Compliementi di Analisi di D. Greco; altrimenti testi in lingua inglese si sprecano.
Ricorda: per classificare le singolarità dei rapporti è importantissimo saper classificare gli zeri delle funzioni olomorfe.
"phigreco":
Io ho:
$ (coszcoshz)/(z^3(z^2-pi^2/4)^2(z^2+pi^2/4)) $
Nella mia funzione: $f(z)=coszcoshz$, $g(z)=z^3(z^2-pi^2/4)^2(z^2+pi^2/4)$ poi boh, come continuo?
La $f$ è intera (olomorfa in tutto il piano) ed ha zeri nei punti:
\[
\begin{split}
z_k^1 &:= \frac{\pi}{2} + k\pi \qquad \text{(zeri del coseno)}\\
z_k^2 &:= \frac{\pi}{2}\mathbf{i} + k\pi\mathbf{i} \qquad \text{(zeri del coseno iperbolico)}
\end{split}
\]
tutti del primo ordine, i.e. d'ordine $n=1$.
La $g$ è anch'essa intera (è un polinomio!!!) ed ha zeri in $0$ di ordine $m=3$ ed in $+-\frac{\pi}{2}$ di ordine $m=2$, $+-\frac{\pi}{2}\mathbf{i}$ di ordine $m=1$.
Dunque il rapporto $f/g$ ha:
- [*:1fvynny9] singolarità eliminabili che non sono zeri in $+-\frac{\pi}{2}\mathbf{i}$,
[/*:m:1fvynny9]
[*:1fvynny9] due poli del primo ordine in $+- \pi/2$,
[/*:m:1fvynny9]
[*:1fvynny9] un polo del terzo ordine in $0$.[/*:m:1fvynny9][/list:u:1fvynny9]
"phigreco":
Inoltre se avessi singolarità essenziali come me ne accorgerei secondo la tua definizione?
In generale, si ricorre alla serie di Laurent; tuttavia, ci sono regolette pratiche pure per quelle. Ad esempio, se una delle due funzioni che forma il rapporto ha una singolarità essenziale in $z_0$ allora anche il rapporto ha una singolarità essenziale.
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