Rilassamento e Gamma Convergenza?
Salve,dopo lo aver studiato metodi indiretti e diretti nel calcolo delle variazioni(grazie all'aiuto del forum),adesso mi avvio a studiare il rilassamento di un funzionale e la gamma convergenza.Però prima di questo,vi sarei grato se mi spiegaste in che modo vengono utilizzati questi ultimi due argomenti.
Risposte
Ti fornisco solo qualche idea senza pretesa di rigore. Rilassare un funzionale significa trovare il piu' grande funzionale semicontinuo inferiormente che sta sotto il funzionale dato, quindi sotto c'e' una topologia da scegliere. Lo scopo e' ovviamente quello di risolvere un problema variazionale relativo ad un funzionale di energia che non e' semicontinuo, infatti se tutto funziona bene hai che l'inf di $F$ e' il min del rilassato di $F$. La gamma convergenza e' invece una convergenza di tipo variazionale. A parte la definizione rigorosa, essa funziona perche' vale il seguente teorema: se $F_h$ gamma converge a $F$ rispetto alla metrica $d$ allora posto min$F_h=F_h(u_h)$ se si ha $u_h \to u_0$ allora min$F=F(u_0)$. Il rilassamento e' un caso particolare di gamma convergenza, infatti il gamma limite di $F_h=F$ per ogni $h$ e' il rilassato di $F$.
Grazie,se ho capito bene posso usare il rilassamento per funzionali del tipo
\( F(u)= \)
\( \int_a^bL(x,u,\dot{u} )dx \) se \( u\in H^{1,p}([a,b]) \)
e
\( 0 \) se \( u\not\in H^{1,p}([a,b]) \)
Mentre la gamma convergenza,che è un caso generale,del rilassamento quando è bene usarla?
\( F(u)= \)
\( \int_a^bL(x,u,\dot{u} )dx \) se \( u\in H^{1,p}([a,b]) \)
e
\( 0 \) se \( u\not\in H^{1,p}([a,b]) \)
Mentre la gamma convergenza,che è un caso generale,del rilassamento quando è bene usarla?
Forse quel $0$ dovrebbe essere $+\infty$. La gamma convergenza puo' essere usata sostanzialmente in due modi: puo' essere usata come strumento di approssimazione (ho $F$ e cerco di approssimarlo con degli $F_h$ piu' facili da trattare, magari numericamente, penso alle discretizzazioni ad esempio) o come strumento deduttivo di modelli variazionali (ho la fisica che mi da' un modello $F_h$ ad una certa scala micoroscopica e voglio vedere che modello leggo a scala macroscopica, il gamma limite $F$ mi puo' fornire la risposta...).
Ti ringrazio nuovamente,anche per avermi fatto notare l'errore che avevo fatto.
Se non ti reca disturbo,potresti rispondere alla seguente domanda:
Un funzionale che potrebbe necessitare di una gamma convergenza sarebbe tipo questo:
\( -\int_a^bu(x,y)2xy+g+fdxdy\)
dove
\( g=\int{\frac{1}{2}}u_x^2dx \)
e
\( f=\int{\frac{1}{2}}u_y^2dy \)
?
Se non ti reca disturbo,potresti rispondere alla seguente domanda:
Un funzionale che potrebbe necessitare di una gamma convergenza sarebbe tipo questo:
\( -\int_a^bu(x,y)2xy+g+fdxdy\)
dove
\( g=\int{\frac{1}{2}}u_x^2dx \)
e
\( f=\int{\frac{1}{2}}u_y^2dy \)
?
Quel funzionale non necessita di una procedura di approssimazione di per se', puo' essere affrontato coi metodi diretti. Uno dei primi esempi di gamma convergenza e' stata l'approssimazione alla Modica-Mortola del funzionale perimetro tramite una famiglia di funzionali definiti su spazi di Sobolev invece che funzioni a variazione limitata: si tratta di cose non di base, per comprenderle occorre un bel po' di analisi.
Grazie di nuovo per la risposta,posso porti qualche altra domanda?(scusami se ti disturbo)
Una cosa che volevo chiederti era,qual'è l'integrando del funzionale a cui prima ti riferivi?
Una cosa che volevo chiederti era,qual'è l'integrando del funzionale a cui prima ti riferivi?
Devi prendere il funzionale $F_\epsilon(u):=\epsilon \int_\Omega |\nabla u|^2dx+\frac{1}{\epsilon}\int_\Omega W(u)dx$ sulle $u\in H^1(\Omega)$ esteso con $+\infty$ a tutto $L^1(\Omega)$, dove $W$ e' una funzione a doppio pozzo, cioe', per esempio, $W\ge 0$ e $W(\pm 1)=0$. Questa famiglia $\Gamma$-converge forte $L^1(\Omega)$ al perimetro, cioe' al funzionale $F(u):=2\mathcal H^{n-1}(S_u)$ se $u\in BV(\Omega;\{-1,1\})$ e $+\infty$ altrimenti in $L^1(\Omega)$. L'idea e' che $u_\epsilon$ che rende limitata $F_\epsilon$ tende ad assumere i valori $\pm 1$ per cercare di annullare il potenziale $W$ e per questo motivo al limite vedi una funzione che assume solo valori $\pm 1$ e paghi l'area dell'insieme dove $u$ salta.
Grazie nuovamente per la risposta.
Comunque è un funzionale incredibilmente difficile da studiare.
Comunque è un funzionale incredibilmente difficile da studiare.
In realta' non piu' di tanto, la gamma convergenza non e' molto difficile se conosci l'analisi funzionale che ti serve. Se ti interessa avevo scritto delle note per un corso di dottorato che feci al politecnico di torino anni fa, te le posso mandare, li ho fatto qualcosa sulla gamma convergenza e qualcosa proprio su questo esempio. Scrivimi per mail se le vuoi.
Grazie,per il tuo aiuto e per il tuo interessamento
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