Ricondurre un'equazione ad un sistema di due equazioni lineari del primo ordine
Salve a tutti. Data la seguente equazione \(\displaystyle (1-m)\frac{\partial^2 l}{\partial t^2}+ \alpha (\frac{4}{L^2}x^2 +\frac{4}{L}x)\frac{\partial l}{\partial t}-c^2\frac{\partial^2l}{\partial x^2}=0 \)
con condizioni al contorno alla Dirichlet \(\displaystyle l(0)=l(1)=0 \) devo ricondurre tale equazione ad un sistema di 2 equazioni lineari del primo ordine mediante le seguenti posizioni \(\displaystyle l=l_1\) e \(\displaystyle \frac{\partial l}{\partial t}=l_2 \)
Potete per favore aiutarmi?
con condizioni al contorno alla Dirichlet \(\displaystyle l(0)=l(1)=0 \) devo ricondurre tale equazione ad un sistema di 2 equazioni lineari del primo ordine mediante le seguenti posizioni \(\displaystyle l=l_1\) e \(\displaystyle \frac{\partial l}{\partial t}=l_2 \)
Potete per favore aiutarmi?
Risposte
Ciao john_titor20,
Quella che hai scritto non è un'equazione, manca il simbolo $=$...
"john_titor20":
Data la seguente equazione $(1-m)\frac{\partial^2 l}{\partial t^2}+ \alpha (\frac{4}{L^2}x^2 +\frac{4}{L}x)\frac{\partial l}{\partial t}-c^2\frac{\partial^2l}{\partial x^2}$
Quella che hai scritto non è un'equazione, manca il simbolo $=$...
"pilloeffe":
Ciao john_titor20,
[quote="john_titor20"]Data la seguente equazione $(1-m)\frac{\partial^2 l}{\partial t^2}+ \alpha (\frac{4}{L^2}x^2 +\frac{4}{L}x)\frac{\partial l}{\partial t}-c^2\frac{\partial^2l}{\partial x^2}$
Quella che hai scritto non è un'equazione, manca il simbolo $=$...
[/quote]Scusami, hai perfettamente ragione. Per la fretta ho dimenticato di aggiungere l'ultima parte. Ho corretto adesso nel post iniziale. Grazie e scusatemi ancora.
Ci sono un paio di cose poco chiare...
$l$ dovrebbe essere una funzione di due variabili, cioè $l= l(x, t) $: su quale variabile sussiste la condizione di Dirichlet?
Poi non capisco molto l'utilità della prima posizione $l = l_1 $, mentre la seconda è chiara, ma si ottiene un sistema lineare rispetto a $t$ e non a $x$:
${(\frac{\partial l}{\partial t} = l_2),((1-m)\frac{\partial l_2}{\partial t}+ \alpha (\frac{4}{L^2}x^2 +\frac{4}{L}x)l_2 - c^2\frac{\partial^2l}{\partial x^2}=0):} $
"john_titor20":
con condizioni al contorno alla Dirichlet $l(0)=l(1)=0$ devo ricondurre tale equazione ad un sistema di 2 equazioni lineari del primo ordine mediante le seguenti posizioni $l=l_1 $ e $\frac{\partial l}{\partial t}= l_2 $
$l$ dovrebbe essere una funzione di due variabili, cioè $l= l(x, t) $: su quale variabile sussiste la condizione di Dirichlet?
Poi non capisco molto l'utilità della prima posizione $l = l_1 $, mentre la seconda è chiara, ma si ottiene un sistema lineare rispetto a $t$ e non a $x$:
${(\frac{\partial l}{\partial t} = l_2),((1-m)\frac{\partial l_2}{\partial t}+ \alpha (\frac{4}{L^2}x^2 +\frac{4}{L}x)l_2 - c^2\frac{\partial^2l}{\partial x^2}=0):} $
Spiego tutta la situazione in modo da essere il più chiaro possibile:
ho questa equazione con \(\displaystyle c=1 \), \(\displaystyle x\in[0, 1] \) e le condizioni alla Dirichlet citate prima.
L'esercizio mi chiede di ricondurre tale equazione ad un sistema di due equazioni lineari del primo ordine mediante le posizioni \(\displaystyle l=l_1 \) e \(\displaystyle \frac{\partial l}{\partial t}=l_2 \) per poi data la condizione iniziale \(\displaystyle l(x, 0)=e^{-100(x-\frac{1}{2})^2} \) e dati \(\displaystyle \alpha \) e \(\displaystyle m \) devo discretizzare il sistema ed evolvere nel tempo la soluzione mediante la routine ode45 di MatLab
ho questa equazione con \(\displaystyle c=1 \), \(\displaystyle x\in[0, 1] \) e le condizioni alla Dirichlet citate prima.
L'esercizio mi chiede di ricondurre tale equazione ad un sistema di due equazioni lineari del primo ordine mediante le posizioni \(\displaystyle l=l_1 \) e \(\displaystyle \frac{\partial l}{\partial t}=l_2 \) per poi data la condizione iniziale \(\displaystyle l(x, 0)=e^{-100(x-\frac{1}{2})^2} \) e dati \(\displaystyle \alpha \) e \(\displaystyle m \) devo discretizzare il sistema ed evolvere nel tempo la soluzione mediante la routine ode45 di MatLab
"pilloeffe":
${(\frac{\partial l}{\partial t} = l_2),((1-m)\frac{\partial l_2}{\partial t}+ \alpha (\frac{4}{L^2}x^2 +\frac{4}{L}x)l_2 - c^2\frac{\partial^2l}{\partial x^2}=0):} $
Quindi alla fine dei conti è questo il sistema con cui devo lavorare e a cui devo sostituire al massimo $l=l_1$, per quanto strano possa sembrare?
Grazie in ogni caso
"john_titor20":
Quindi alla fine dei conti è questo il sistema con cui devo lavorare e a cui devo sostituire al massimo $l=l_1$, per quanto strano possa sembrare?
Beh, direi proprio di sì... Ma non è strano, è lineare rispetto a $t$: non credo ci sia altro da fare con le condizioni poste...
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