Richiesta chiarimento per dimostrazione non capita.

[Superbgino]

Buongiorno, sono un ingegnere del vecchissimo ordinamento. Mi è rimasto un debole per la matematica che ho sempre avuto fin dal liceo.
Vi prego di perdonarmi se appaio presuntuoso ma c'è tutto un pezzo di teoria che mi manca( come vi ho detto sono solo un ingegnere).
Vi prego di spiegarmi i seguenti passaggi che non ho proprio capito e che ho evidenziato nell'immagine di sotto.
Grazie per tutto.

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Cosa non ti torna esattamente? Sta usando sostanzialmente due fatti: le funzioni continue a supporto compatto sono dense in \( L^p (\mathbb{R}) \) (cfr. qui) e le funzioni continue in un compatto sono uniformemente continue (cfr. teorema di Heine-Cantor).