Ricavare le equazioni di Cauchy-Riemann.
Ciao, dovrei dimostrare che una funzione che soddisfa CR è olomorfa; riporto la dimostrazione dell'implicazione inversa del mio libro:
Provo a procedere a ritroso. Sia \(\displaystyle f=u(x,y)+iv(x,y) \) definita su $U$ aperto una funzione tale da soddisfare le equazioni di Cauchy-Riemann, con \(\displaystyle u,v \) differenziabili in senso reale. E' possibile associare nuovamente a tale funzione il campo \(\displaystyle \mathbf{F}(x,y)=(u(x,y),v(x,y)) \), che risulta differenziabile in quanto ciascuna delle due componenti è differenziabile per ipotesi. La Jacobiana è quindi della forma \[ \displaystyle J_{(x,y)}\mathbf{F}=\begin{bmatrix}\partial_x u & \partial_y u \\ \partial_x v & \partial_y v\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\partial_x u & -\partial_x v \\ \partial_x v & \partial_x u\end{bmatrix}:=\begin{bmatrix} a & -b \\ b & a\end{bmatrix}, \] e siccome con questa identificazione \(\displaystyle \langle J_{(x,y)}\mathbf{F},w\rangle=(ah-bk,bh+ak) \), si ha \[ \displaystyle \mathbf{F}(x+h,y+k)-\mathbf{F}(x,y)=(ah-bk,bh+ak)+h\sigma_1(h,k)+k\sigma_2(h,k), \] da cui separando le componenti reale e immaginaria, si ottiene ancora \( \displaystyle f(z+w)-f(z)=(a+ib)w+\sigma(w)w \), cioè \(\displaystyle f \) è olomorfa con derivata \(\displaystyle f'=\partial_x u-i\partial_y u \).
"Serge Lang":
Sia \(\displaystyle f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y) \) una funzione olomorfa definita su un aperto \(\displaystyle U\subset\mathbb{C} \). Fissato \(\displaystyle z\in U \), sia \(\displaystyle f'(z)=a+ib \). Sia infine \(\displaystyle w=h+ik \), con \(\displaystyle h, k \) numeri reali.
Per definizione di derivata, si ha \(\displaystyle f(z+w)-f(z)=f'(z)w+\sigma(w)w \), dove \(\displaystyle \sigma(w)\to 0 \) per \(\displaystyle w\to 0 \). In particolare \(\displaystyle f'(z)w=(a+ib)(h+ik)=ah-bk+i(bh+ak) \).
Considero adesso il campo vettoriale \(\displaystyle \mathbf{F}(x,y)=(u(x,y),v(x,y)) \) associato ad $f$. Sfruttando quanto sopra, si ha \[\displaystyle \mathbf{F}(x+h,y+k)-\mathbf{F}(x,y)=(ah-bk,bh+ak)+h\sigma_1(h,k)+k\sigma_2(h,k), \] dove nuovamente le funzioni \(\displaystyle \sigma_i \) tendono a zero per \(\displaystyle (h,k)\to 0 \). Richiedere che $f$ sia olomorfa equivale a richiedere che $F$ sia differenziabile in senso reale; la matrice Jacobiana associata è \[\displaystyle J_{(x,y)}\mathbf{F}=\begin{bmatrix} a & -b \\ b & a\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\partial_x u & \partial_y u \\ \partial_x v & \partial_y v\end{bmatrix}, \] da cui si derivano le equazioni di Cauchy-Riemann \(\displaystyle \partial_x u=\partial_y v \), \(\displaystyle \partial_y u=-\partial_x v \).
Provo a procedere a ritroso. Sia \(\displaystyle f=u(x,y)+iv(x,y) \) definita su $U$ aperto una funzione tale da soddisfare le equazioni di Cauchy-Riemann, con \(\displaystyle u,v \) differenziabili in senso reale. E' possibile associare nuovamente a tale funzione il campo \(\displaystyle \mathbf{F}(x,y)=(u(x,y),v(x,y)) \), che risulta differenziabile in quanto ciascuna delle due componenti è differenziabile per ipotesi. La Jacobiana è quindi della forma \[ \displaystyle J_{(x,y)}\mathbf{F}=\begin{bmatrix}\partial_x u & \partial_y u \\ \partial_x v & \partial_y v\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\partial_x u & -\partial_x v \\ \partial_x v & \partial_x u\end{bmatrix}:=\begin{bmatrix} a & -b \\ b & a\end{bmatrix}, \] e siccome con questa identificazione \(\displaystyle \langle J_{(x,y)}\mathbf{F},w\rangle=(ah-bk,bh+ak) \), si ha \[ \displaystyle \mathbf{F}(x+h,y+k)-\mathbf{F}(x,y)=(ah-bk,bh+ak)+h\sigma_1(h,k)+k\sigma_2(h,k), \] da cui separando le componenti reale e immaginaria, si ottiene ancora \( \displaystyle f(z+w)-f(z)=(a+ib)w+\sigma(w)w \), cioè \(\displaystyle f \) è olomorfa con derivata \(\displaystyle f'=\partial_x u-i\partial_y u \).
Risposte
Comunque a prescindere dalla correttezza del post precedente stavo riflettendo su come Lang la faccia complicata per ricavare le equazioni di Cauchy-Riemann. Alla fin fine basta sostituire un incremento reale e un incremento immaginario puro nella definizione di derivata per ottenerle: \[\displaystyle f'(z)=\lim_{h\to 0}\frac{f(z+h)-f(z)}{h}=\frac{\partial f}{\partial x}=-i\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{1}{i}\lim_{k\to 0}\frac{f(z+ik)-f(z)}{k}, \] da cui seguono \( \displaystyle \partial_x u=\partial_y v \) e \( \displaystyle \partial_y u=-\partial_x v \). Non va bene così? La cosa però che mi colpisce della dimostrazione di prima è il fatto che la matrice jacobiana lì assomigli sospettosamente a una rotazione. E' una bufala, o c'è un'interpretazione geometrica di questo genere?
Consulta il libro "Visual complex analysis" di Needham, ti piacerà, lo trovi in biblioteca o anche scannerizzato su internet.
Wow. Le equazioni di CR sono un altro modo di dire che funzioni analitiche mandano quadrati infinitesimi in quadrati? Hai ragione, ho letto poche pagine ma questo libro mi sta già piacendo. Comunque stavo già pensando di sostituire il Lang, e mi avevano parlato molto bene del libro di Ahlfors. Adesso sono indeciso! Suggerimenti?
I libri non si "sostituiscono". Te li devi leggere tutti. "Leggere" un libro di matematica non significa necessariamente leggerlo come fosse un romanzo, da copertina a copertina. Bisogna saper leggere diagonalmente, e approfondire quello che serve. È molto difficile, ma è una abilità fondamentale.
Capisco quello che dici, però insomma un libro di testo da riferimento ci vuole no? 
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