Residui di una funzione razionale
Sto avendo problemi nel calcolo di un Residuo di una funzione in una singolarità di tipo ESSENZIALE.
Nello specifico: $$f(z) $ $ =$(e^(1/z))/(z+i)$
$$Dominio: C-{-i,0} $$
$ z=-i $ è una singolarità di tipo POLO del 1° ordine
$z=0 $ è una singolarità di tipo ESSENZIALE
A)Nel caso di -i : il calcolo del residuo è banale,perché ci basta applicare una formula di derivazione di un prodotto
Risultato: $Res(f,-i)= e^i $
B)Nel caso di 0 : l'idea è quella di
1. Sviluppare in Serie di Laurent la funzione
2. andarci a prendere il coefficiente del 1° termine della PARTE SINGOLARE
Personalmente, ho riscritto la funzione nel seguente modo:
$ f(z)= 1/(z+i) sum_(n = 0)^(+oo ) ((1/n)^n /(n!))= sum_(n = 0)^(+oo )z^n (-1)ii^n *sum_(n = 0)^(+oo )
((1/n)^n /(n!))=(-i+z+iz^2-z^3-iz^4+z^5+...)*(1+1/z+1/(2z^2) +1/(6z^3) +..) $
E qui mi sono limitato ad effettuare i primi due prodotti, ottenendo:
$-i + 1/(iz)$
Qui ho riconosciuto che: $1/z$ è proprio il 1° termine della parte singolare
E dunque considerato che ha coefficiente: $1/i$
Ne ho dedotto che: $Res(f,0) =1/i$
Domanda: è corretto ?
Nello specifico: $$f(z) $ $ =$(e^(1/z))/(z+i)$
$$Dominio: C-{-i,0} $$
$ z=-i $ è una singolarità di tipo POLO del 1° ordine
$z=0 $ è una singolarità di tipo ESSENZIALE
A)Nel caso di -i : il calcolo del residuo è banale,perché ci basta applicare una formula di derivazione di un prodotto
Risultato: $Res(f,-i)= e^i $
B)Nel caso di 0 : l'idea è quella di
1. Sviluppare in Serie di Laurent la funzione
2. andarci a prendere il coefficiente del 1° termine della PARTE SINGOLARE
Personalmente, ho riscritto la funzione nel seguente modo:
$ f(z)= 1/(z+i) sum_(n = 0)^(+oo ) ((1/n)^n /(n!))= sum_(n = 0)^(+oo )z^n (-1)ii^n *sum_(n = 0)^(+oo )
((1/n)^n /(n!))=(-i+z+iz^2-z^3-iz^4+z^5+...)*(1+1/z+1/(2z^2) +1/(6z^3) +..) $
E qui mi sono limitato ad effettuare i primi due prodotti, ottenendo:
$-i + 1/(iz)$
Qui ho riconosciuto che: $1/z$ è proprio il 1° termine della parte singolare
E dunque considerato che ha coefficiente: $1/i$
Ne ho dedotto che: $Res(f,0) =1/i$
Domanda: è corretto ?
Risposte
Ok per il residuo in $z=-i$. L'idea per il residuo in $z=0$ è corretta, ma non va bene fermarsi ai primi due prodotti perché ti perdi altri coefficienti del termine $1/z$. Ad esempio, moltiplicando $z$ per $1/(2z^2)$ ottieni $1/(2z)$ che è un altro termine del tipo $1/z$; lo stesso avviene moltiplicando $iz^2$ per $1/(6z^3)$, eccetera. In sostanza, hai un residuo che è dato da una serie. A rigore, devi effettuare il prodotto di Cauchy tra serie.
Ciao CallistoBello,
No, ha ragione Mephlip... Se non ho fatto male i conti si ottiene:
$ \text{Res}[f(z),0] = \sum_{n = 1}^{+\infty} (-1)^(n + 1)/((2n)!) - i \sum_{n = 0}^{+\infty} (-1)^n/((2n + 1)!) = - \sum_{n = 1}^{+\infty} (-1)^n/((2n)!) - i \sum_{n = 0}^{+\infty} (-1)^n/((2n + 1)!) = $
$ = 1 - sum_{n = 0}^{+\infty} (-1)^n/((2n)!) - i \sum_{n = 0}^{+\infty} (-1)^n/((2n + 1)!) = 1 - cos(1) - i sin(1) = 1 - e^i $
I conti però sono un po' tediosi, è più comodo osservare che si ha:
$ \text{Res}[f(z),0] + \text{Res}[f(z),\infty] + \text{Res}[f(z),- i] = 0 $
Sicché si ha:
$ \text{Res}[f(z),0] = - \text{Res}[f(z),\infty] - \text{Res}[f(z),- i] = - (- 1) - e^i = 1 - e^i $
"CallistoBello":
Domanda: è corretto ?
No, ha ragione Mephlip... Se non ho fatto male i conti si ottiene:
$ \text{Res}[f(z),0] = \sum_{n = 1}^{+\infty} (-1)^(n + 1)/((2n)!) - i \sum_{n = 0}^{+\infty} (-1)^n/((2n + 1)!) = - \sum_{n = 1}^{+\infty} (-1)^n/((2n)!) - i \sum_{n = 0}^{+\infty} (-1)^n/((2n + 1)!) = $
$ = 1 - sum_{n = 0}^{+\infty} (-1)^n/((2n)!) - i \sum_{n = 0}^{+\infty} (-1)^n/((2n + 1)!) = 1 - cos(1) - i sin(1) = 1 - e^i $
I conti però sono un po' tediosi, è più comodo osservare che si ha:
$ \text{Res}[f(z),0] + \text{Res}[f(z),\infty] + \text{Res}[f(z),- i] = 0 $
Sicché si ha:
$ \text{Res}[f(z),0] = - \text{Res}[f(z),\infty] - \text{Res}[f(z),- i] = - (- 1) - e^i = 1 - e^i $
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