Residui
Ho ancora bisogno di una mano per riarrangiare le idee sulla lezione di oggi.
In particolareci è stato spiegato il concetto di residuo e trovandomi di fronte a questa funzione pescata online ci sono cascato come un asino, tuttavia non capisco perché non funzioni una considerazione che ho fatto.
La funzione incriminata sarebbe: $f(z)=1/z^2$, il mio errore è stato di non usare il criterio peri poli ma notare che lafunzione ha una singolaritàin z=0, allora ho detto, beh se il residuo è:
$1/(2pii)\int_(\gamma) f(z) dz$ per il teorema di cauchy generalizzato tale integrale non dovrebbe darmi $2pii$? Abbiamo una singolarità che possiamo racchiudere in una curva gamma omotopicamente equivalente a una curva circolare che so darmi $2pii$
Non vedo l'errore ancora una volta
In particolareci è stato spiegato il concetto di residuo e trovandomi di fronte a questa funzione pescata online ci sono cascato come un asino, tuttavia non capisco perché non funzioni una considerazione che ho fatto.
La funzione incriminata sarebbe: $f(z)=1/z^2$, il mio errore è stato di non usare il criterio peri poli ma notare che lafunzione ha una singolaritàin z=0, allora ho detto, beh se il residuo è:
$1/(2pii)\int_(\gamma) f(z) dz$ per il teorema di cauchy generalizzato tale integrale non dovrebbe darmi $2pii$? Abbiamo una singolarità che possiamo racchiudere in una curva gamma omotopicamente equivalente a una curva circolare che so darmi $2pii$
Non vedo l'errore ancora una volta
Risposte
Rispondo solo ora perché, purtroppo, avendo le lezioni sempre fino a tardi devo razionare il tempo per ogni materiae ne ho ben 4.
Ad ogni modo il dubbio mi resta e voglio proprio capirlo bene prima di passare a concetti successivi, mi sembra che il mio problema risieda più che nel residuo in sé per sé nel calcolo dell'integrale.
Il tutto iniziò qualche lezione fa quando il professore ci ha mostrato che se una funzione è analitica in un dominio D tale che tale dominio sia semplicemente connesso (eall'interno della curva su cui integro non ho quindi sinoglarità) allora l'integrale su tale curva di f(z) viene zero.
Poi ci è stato mostrato il risultato del teorema generalizzato di cauchy, il quale richiede dominio non connesso e la presenza di due curve omotopicamente equivalenti così che siano "deformabili"(passami il termine) l'una nell'altra. In tal caso allora integrando su una gamma1 e una gamma2 se all'interno delle due curve (abbiamo la possibilità una curva dentro l'altra oppure due curve che si "intersecano") vi è una singolarità, dato che possiamo prendere gamma1 e gamma2 qualsiasi possiamo prendere gamma2 come circonferenza e infatti integrando ad esempio $1/z$ che ha una singolarità in z=0, se integro lungo una circonferenza che la contenga mi darà $2pii$, risultato identico per qualuncue curva su cui si integri che lo contenga.
A questo punto $1/z^2$ mi pare abbia singolarità in zero, dunque perché non risulta $2pii$?
spero di esser stato più chiaro sul dubbio per cercare di fartelo capire meglio
Mi scuso se invece sono stato "pasticcione"
Grazie e buon pomeriggio
Ad ogni modo il dubbio mi resta e voglio proprio capirlo bene prima di passare a concetti successivi, mi sembra che il mio problema risieda più che nel residuo in sé per sé nel calcolo dell'integrale.
Il tutto iniziò qualche lezione fa quando il professore ci ha mostrato che se una funzione è analitica in un dominio D tale che tale dominio sia semplicemente connesso (eall'interno della curva su cui integro non ho quindi sinoglarità) allora l'integrale su tale curva di f(z) viene zero.
Poi ci è stato mostrato il risultato del teorema generalizzato di cauchy, il quale richiede dominio non connesso e la presenza di due curve omotopicamente equivalenti così che siano "deformabili"(passami il termine) l'una nell'altra. In tal caso allora integrando su una gamma1 e una gamma2 se all'interno delle due curve (abbiamo la possibilità una curva dentro l'altra oppure due curve che si "intersecano") vi è una singolarità, dato che possiamo prendere gamma1 e gamma2 qualsiasi possiamo prendere gamma2 come circonferenza e infatti integrando ad esempio $1/z$ che ha una singolarità in z=0, se integro lungo una circonferenza che la contenga mi darà $2pii$, risultato identico per qualuncue curva su cui si integri che lo contenga.
A questo punto $1/z^2$ mi pare abbia singolarità in zero, dunque perché non risulta $2pii$?
spero di esser stato più chiaro sul dubbio per cercare di fartelo capire meglio
Mi scuso se invece sono stato "pasticcione"Grazie e buon pomeriggio
"wsualfredo":
[...] integrando ad esempio $1/z$ che ha una singolarità in z=0, se integro lungo una circonferenza che la contenga mi darà $2pii$, risultato identico per qualuncue curva su cui si integri che lo contenga.
A questo punto $1/z^2$ mi pare abbia singolarità in zero, dunque perché non risulta $2pii$?
Ah, beh, se è per questo, nemmeno gli integrali di $1/z^n$ con $n>=2$ naturale valgono $2pi i$... Ognuno di essi è nullo, perché l’integrale complesso $int_gamma 1/z^n text( d) z$ calcolato con la definizione è nullo.
Questo significa semplicemente che il valore dell’integrale curvilineo non dipende dalla semplice presenza di singolarità (isolata) all’interno del contorno d’integrazione.
Esso, in realtà, dipende dalla presenza di un particolare termine nello sviluppo in serie di Laurent della funzione integranda, i.e. da $(c_(-1))/z$, che proporzionale alla funzione $1/z$ che gioca brutti scherzi nel calcolo dell’integrale.
Forse la chiave è che mi ero persuaso, a torto, che se vi fosse stata una singolarità allora l'integrale sarebbe risultato $2pii$. Cosa a quanto pare non vera 
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Vi ringrazio per l'aiuto
.Vi ringrazio per l'aiuto
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